Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與△COB相似？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

Answer 1

【答案】(1)、y=－+x+2；(2)、E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），（3，2）．

【解析】

試題分析：(1)、首先設(shè)出函數(shù)的解析式，然后利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解；(2)、首先根據(jù)題意判定△ABE只能是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的三角形，然后求出BC的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形相似求出點(diǎn)E的坐標(biāo).

試題解析：(1)、∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,2) ∴設(shè)該拋物線的解析式為y=a+bx+2

將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得： 解得：

∴拋物線的解析式為：y=－+x+2

(2)、存在

由圖象可知，以A、B為直角頂點(diǎn)的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4， ∴BC==．

在Rt△BOC中，設(shè)BC邊上的高為h，則×h=×2×4， ∴h=．

∵△BEA∽△COB，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）， ∴=，∴y=±2

將y=2代入拋物線y=－+x+2，得=0，=3．

當(dāng)y=﹣2時(shí)，不合題意舍去．

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），（3，2）．