Question

【題目】已知在△ABC中，∠BAC＝90°，M是邊BC的中點(diǎn)，BC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)N滿足AM⊥AN．△ABC的內(nèi)切圓與邊AB、AC的切點(diǎn)分別為E、F，延長(zhǎng)EF分別與AN、BC的延長(zhǎng)線交于P、Q，則＝（　�。�

A. 1B. 0.5C. 2D. 1.5

Answer 1

【答案】A

【解析】

取△ACB的內(nèi)切圓的圓心是O，連接OE、OF，得出正方形AEOF，求出AE＝AF，推出∠AEF＝∠AFE＝∠CFQ，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出AM＝MC，推出∠MCA＝∠MAC，根據(jù)∠BAC＝∠MAG＝∠MAN＝90°，求出∠GAE＝∠MAC＝∠MCA，∠EAM＝∠CAP，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠GAE＝∠APE+∠AEP，∠MCA＝∠Q+∠CFQ，求出∠Q＝∠NPQ，推出PN＝NQ即可．

取△ACB的內(nèi)切圓的圓心是O，連接OE、OF，作NA的延長(zhǎng)線AG，

則OE⊥AB，OF⊥AC，OE＝OF，

∵∠BAC＝90°，

∴四邊形AEOF是正方形，

∴AE＝AF，

∴∠AEF＝∠AFE，

∵∠BAC＝90°，M為斜邊BC上中線，

∴AM＝CM＝BM，

∴∠MAC＝∠MCA，

∵∠BAC＝90°，AN⊥AM，

∴∠BAC＝∠MAG＝∠MAN＝90°，

∴∠GAE+∠EAM＝90°，∠EAM+∠MAC＝90°，∠MAC+∠CAN＝90°，

∴∠GAE＝∠MAC＝∠MCA，∠EAM＝∠CAP，

∵∠GAE＝∠APE+∠AEP，∠MCA＝∠Q+∠CFQ，

∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFQ，∠EPA＝∠NPQ，

∴∠Q＝∠NPQ，

∴PN＝QN，

∴＝1，

故選：A．