Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0,4），D為OC的中點(diǎn).

（1）求m的值；

（2）拋物線的對稱軸與 x軸交于點(diǎn)E，在直線AD上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、B、F為頂點(diǎn)的三角形與△ADE 相似？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)G，使△GBC中BC邊上的高為？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）-1；（2）（1，4）或（，5）；（3）（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，4），把C點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式建立方程，求出方程的解，就可以求出m的值；

（2）先求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)對應(yīng)角不同的情況就可以求出F的不同坐標(biāo)；

（3）先由待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后由題目的條件求出與直線BC平行且距離為 的直線的解析式，再由拋物線的對稱軸與這些與BC平行的直線的解析式構(gòu)建方程組求出其解，就可以求出G的坐標(biāo)．

試題解析：（1）拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，4），

∴5+m=4．∴m=-1．

（2）拋物線的解析式為 y=-x²+3x+4．

可求拋物線與x軸的交點(diǎn)A（-1，0），B（4，0）．

可求點(diǎn)E的坐標(biāo)(，0)．

由圖知，點(diǎn)F在x軸下方的直線AD上時(shí)，△ABF是鈍角三角形，不可能與△ADE相似，所以點(diǎn)F一定在x軸上方．

此時(shí)△ABF與△ADE有一個公共角，兩個三角形相似存在兩種情況：

當(dāng)時(shí)，由于E為AB的中點(diǎn)，此時(shí)D為AF的中點(diǎn)，可求 F點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）．

②當(dāng)時(shí)，，解得： .

如圖（2）過F點(diǎn)作FH⊥x軸，垂足為H．

∴．

∵D是OC的中點(diǎn)，∴OD=2.

∴由勾股定理得：.

∴, 解得.

由勾股定理得：，

∴F的坐標(biāo)為（，5）.

（3）在拋物線的對稱軸上存在符合題意的點(diǎn)G．

由題意，可知△OBC為等腰直角三角形，直線BC為y=-x+4．

如圖（3），

∵M(jìn)Q∥BC，QP=，∴由勾股定理，得CQ=5.

∴可求與直線BC平行且距離為的直線為y=-x+9或y=-x-1．

∴點(diǎn)G在直線y=-x+9或y=-x-1上．

∵拋物線的對稱軸是直線x＝，

∴或，解得：或.

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，）或（，）．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.兩條直線相交或平行問題；3.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；4.等腰直角三角形的性質(zhì)；5.相似三角形的判定和性質(zhì)；6.分類思想的應(yīng)用．