Question

已知，在邊長為6的正方形ABCD的兩側(cè)如圖作正方形BEFG、正方形DMNK，恰好使得N、A、F三點在一直線上，連結(jié)MF交線段AD于點P，連結(jié)NP，設(shè)正方形BEFG的邊長為x，正方形DMNK的邊長為y，

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；

（2）當△FNP的面積為32時，求∠FNP的正切值；

（3）以P為圓心、AP為半徑的圓能否與以G為圓心、GF為半徑的圓相切，若能請求出x的值，若不能，請說明理由．

                                                           

 

Answer 1

（1）由△AEF∽△NKA，可得＝∴＝     ………… (1分)

經(jīng)化簡：y＝x＋6，其中0＜x≤6           ………………………… (2分)

（2）由y＝x＋6可知：NK＝AE，則△AEF≌△NKA   ∴FA＝AN，于是FP＝PM，AP＝MN

而S_△FNP＝S_△PNM＝S_{正方形DMNK}，即y²＝32，又y＞0，則y＝8，此時x＝2，………（4分）

作AH⊥PN于H，在Rt△KPN中，KN＝8，KP＝6，∴PN＝10

在Rt△APH中，AP＝4，，∴AH＝，PH＝， ∴NH＝10－＝

∴在Rt△ANH中，tan∠FNP＝＝     ………………………………………（6分）

（3）連結(jié)PG，延長FG交AD于Q點，則GQ⊥AD.且半徑AP＝y＝x＋3，半徑GF＝x，

圓心距PG用勾股定理表示，可有PG²＝(y－x)²＋6²＝(3－x)²＋36.     ……………（7分）

若兩圓相切，則有兩種情況：

①當兩圓外切時，(3－x)²＋36＝(x＋3＋x)²    解得：x＝－3±3（負值舍去）………（8分）

②當兩圓內(nèi)切時，(3－x)²＋36＝(x＋3－x)²   方程無解              ……………（9分）

所以，當x＝3－3時，這兩個圓相切.          ………………………………………（10分）