Question

【題目】如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D是AB上一點，過點D作DE⊥BC交BC于點E，交CA延長線于點F．

（1）證明：△ADF是等腰三角形；

（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的長，

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EC＝4．

【解析】

（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性質(zhì)可推出∠F＝∠BDE，再根據(jù)對頂角相等進(jìn)行等量代換即可推出∠F＝∠FDA，于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)解直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵FE⊥BC，

∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，

∴∠F＝∠BDE，

而∠BDE＝∠FDA，

∴∠F＝∠FDA，

∴AF＝AD，

∴△ADF是等腰三角形；

（2）∵DE⊥BC，

∴∠DEB＝90°，

∵∠B＝60°，BD＝4，

∴BE＝BD＝2，

∵AB＝AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴BC＝AB＝AD+BD＝6，

∴EC＝BC﹣BE＝4．