Question

如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)G在邊AD上，且∠ECG=45°，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，且DF=BE．則下列結(jié)論：①∠ECB是銳角；②AE＜AG；③△CGE≌△CGF；④EG=BE+GD中一定成立的結(jié)論有________（寫出全部正確結(jié)論）．

Answer 1

①③④
分析：根據(jù)題意∠ECB在∠BCD=90°內(nèi)部，可知∠ECB是銳角；根據(jù)點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)G在邊AD上，且∠ECG=45°，判斷不出AE與AG的大��；由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB≌△CFD，從而證出CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可證得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因?yàn)镈F=BE，所以可證出GE=BE+GD成立．
解答：根據(jù)題意∠ECB在∠BCD=90°內(nèi)部，可知∠ECB是銳角，故①正確；
根據(jù)點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)G在邊AD上，且∠ECG=45°，
判斷不出AE與AG的大小，故②錯(cuò)誤；
在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE=CF，
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG，故③正確；
又GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD，故④正確．
故答案為：①③④．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)和正方形的性質(zhì)，注意證兩條線段相等往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在證EG=BE+GD也是考查了通過全等找出和GE相等的線段，從而證出關(guān)系是不是成立．