Question

如圖，拋物線y=

3

3

(x2+3x-4)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)O到AC的距離；
（3）若點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，以2為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與直線AC相切時，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，令x=0，求出y的值，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）利用勾股定理列式求出AC的長度，再根據(jù)△AOC的面積，列式求解即可得到點(diǎn)O到AC的距離；
（3）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再根據(jù)點(diǎn)O到AC的距離為2可知點(diǎn)P在過點(diǎn)O與AC平行的直線上，求出直線PO的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立消掉y，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

解答：解：（1）令y=0，則

3

3

（x²+3x-4）=0，
整理得，x²+3x-4=0，
解得x₁=1，x₂=-4，
所以，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），
令x=0，則y=-4×

3

3

=-

4 3

3

，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-

4 3

3

）；

（2）∵點(diǎn)A（-4，0），C（0，-

4 3

3

），
∴OA=4，OC=

4 3

3

，
根據(jù)勾股定理得，AC=

OA2+OC2

=

42+( 4 3 3 )2

=

8 3

3

，
設(shè)點(diǎn)O到AC的距離為h，
則S_△AOC=

1

2

OA•OC=

1

2

AC•h，
即

1

2

×4×

4 3

3

=

1

2

×

8 3

3

h，
解得h=2，
所以，點(diǎn)O到AC的距離為2；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∵直線經(jīng)過點(diǎn)A（-4，0），C（0，-

4 3

3

），
∴

-4k+b=0 b=- 4 3 3

，
解得

k=- 3 3 b=- 4 3 3

，
∴直線AC的解析式為y=-

3

3

x-

4 3

3

，
∵點(diǎn)O到AC的距離為2，
∴點(diǎn)P在過點(diǎn)O與AC平行的直線y=-

3

3

x上，
聯(lián)立

y= 3 3 (x2+3x-4) y=- 3 3 x

，
消掉未知數(shù)y得，

3

3

（x²+3x-4）=-

3

3

x，
整理得，x²+4x-4=0，
解得x₁=-2-2

2

，x₂=-2+2

2

，
所以，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：-2-2

2

或-2+2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求解，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，（3）判斷出點(diǎn)P在過點(diǎn)O與AC平行的直線上是解題的關(guān)鍵．