Question

（2012•葫蘆島）△ABC中，BC=AC=5，AB=8，CD為AB邊上的高，如圖1，A在原點處，點B在y軸正半軸上，點C在第一象限，若A從原點出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動，則點B隨之沿y軸下滑，并帶動△ABC在平面上滑動．如圖2，設(shè)運動時間表為t秒，當(dāng)B到達(dá)原點時停止運動．
（1）當(dāng)t=0時，求點C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t=4時，求OD的長及∠BAO的大小；
（3）求從t=0到t=4這一時段點D運動路線的長；
（4）當(dāng)以點C為圓心，CA為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時，求t的值．

Answer 1

分析：（1）先由BC=AC，CD為AB邊上的高，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出D為AB的中點，則AD=

1

2

AB=4，然后在Rt△CAD中運用勾股定理求出CD=3，進(jìn)而得到點C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，當(dāng)t=4時即AO=4，先由D為AB的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OD=

1

2

AB=4，則OA=OD=AD=4，判定△AOD為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BAO=60°；
（3）從t=0到t=4這一時段點D運動路線是弧DD₁，由∠D₁OD=30°，OD=4，根據(jù)弧長的計算公式求解；
（4）分兩種情況：①⊙C與x軸相切，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△CAD∽△ABO，得出

AB

CA

=

AO

CD

，求出AO的值；②⊙C與y軸相切，同理，可求出AO的值．

解答：解：（1）如圖1，∵BC=AC，CD⊥AB，
∴D為AB的中點，
∴AD=

1

2

AB=4．
在Rt△CAD中，CD=

52-42

=3，
∴點C的坐標(biāo)為（3，4）；

（2）如圖2，當(dāng)t=4時，AO=4，
在Rt△ABO中，D為AB的中點，OD=

1

2

AB=4，
∴OA=OD=AD=4，
∴△AOD為等邊三角形，
∴∠BAO=60°；

（3）如圖3，從t=0到t=4這一時段點D運動路線是弧DD₁，其中，OD=OD₁=4，
又∵∠D₁OD=90°-60°=30°，
∴

DD1

=

30×π×4

180

=

2

3

π；

（4）分兩種情況：
①設(shè)AO=t₁時，⊙C與x軸相切，A為切點，如圖4．
∴CA⊥OA，
∴CA∥y軸，
∴∠CAD=∠ABO．
又∵∠CDA=∠AOB=90°，
∴Rt△CAD∽Rt△ABO，
∴

AB

CA

=

AO

CD

，即

8

5

=

t1

3

，
解得t₁=

24

5

；
②設(shè)AO=t₂時，⊙C與y軸相切，B為切點，如圖5．
同理可得，t₂=

32

5

．
綜上可知，當(dāng)以點C為圓心，CA為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時，t的值為

24

5

或

32

5

．

點評：本題考查了圓的綜合題，涉及到等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，弧長的計算，直線與圓相切，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，其中第（4）問進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．