Question

【題目】如圖，已知一個(gè)拋物線經(jīng)過A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1）三點(diǎn)．

（1）求這個(gè)拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）聯(lián)結(jié)AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；

（3）如果點(diǎn)E在該拋物線的對(duì)稱軸上，且以點(diǎn)A、B、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x+1，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（﹣，）；（2）tan∠ABC＝；（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，3）或（﹣，2）或（﹣，）

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，將A（0，1）、B（1，3）、C（﹣1，1）代入，求a、b、c的值，可得結(jié)果；

（2）如圖，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，延長(zhǎng)CA交BF于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，通過勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)可求AM和BM的長(zhǎng)，即可求解；

（3）分三種情況討論，由梯形的性質(zhì)可求解．

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0）．

由題意可得：

解得：

∴拋物線的解析式為：y＝x2+x+1，

∵y＝x2+x+1＝，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（﹣，）；

（2）如圖，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，延長(zhǎng)CA交BF于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，

∴BF＝3，

∵A（0，1），C（﹣1，1），

∴AC∥x軸，

∴CD⊥BF，

∴CD＝BD＝2，AD＝1，CA＝1，

∴BC＝2，∠BCD＝∠CBD＝45°，

∵AM⊥BC，

∴∠MAC＝∠MCA＝45°，

∴CM＝AM，

∴CM＝AM＝，

∴BM＝BC﹣CM＝，

∴tan∠ABC＝＝；

（3）∵A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1），

∴直線AC解析式為：y＝1，

直線AB解析式為：y＝2x+1，

直線BC解析式為：y＝x+2，

若BE∥AC，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3，且點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，

∴點(diǎn)E（﹣，3）；

若CE∥AB，則CE的解析式為；y＝2x+3，

∵點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，

∴x＝﹣，

∴y＝2，

即點(diǎn)E（﹣，2）；

若AE∥BC，則AE解析式為：y＝x+1，

∵點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，

∴x＝﹣，

∴y＝，

即點(diǎn)E（﹣，），

綜上所述：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，3）或（﹣，2）或（﹣，）．