Question

已知：在△ABC中，∠ACB=900，點P是線段AC上一點，過點A作AB的垂線，交BP的延長線于點M，MN⊥AC于點N，PQ⊥AB于點Q，A0=MN．

（1）如圖l，求證：PC=AN；

（2） 如圖2，點E是MN上一點，連接EP并延長交BC于點K，點D是AB上一點，連接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于點H，交BC延長線于點F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）

【解析】解：（1）證明：∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°。

 ∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN。

∵PQ⊥AB  MN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°�！郃Q=MN。∴△AQP≌△MNA（ASA）。

∴AN=PQ，AM=AP�！唷螦MB=∠APM。

∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PBC。

∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC（角平分線的性質(zhì)）�！郟C=AN。

（2）∵NP=2  PC=3，∴由（1）知PC=AN=3�！郃P=NC=5，AC=8。

∴AM=AP=5�！�。

∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°，∴∠ABC=∠MAN。

∴。

∵，∴BC=6。

∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC。

又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK�！�。

∵CK：CF=2：3，設(shè)CK=2k，則CF=3k。

∴，。

過N作NT∥EF交CF于T，

則四邊形NTFE是平行四邊形。

∴NE=TF=，∴CT=CF－TF=3k－。

∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。

∴∠BPC=∠BFH。

∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。

∴。

∴，。

∴CT= �！� �！郈K=2×=3，BK=BC－CK=3。

∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC。

∴�！鄑an∠BDK=1。

過K作KG⊥BD于G。

∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=，∴設(shè)GK=4n，則BG=3n，GD=4n。

∴BK=5n=3，∴n=�！郆D=4n+3n=7n=。

∵，AQ=4，∴BQ=AB－AQ=6。

∴DQ=BQ－BD=6－= 。

（1）確定一對全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；然后推出BP為角平分線，利用角平分線的性質(zhì)得到PC=PQ；從而得到PC=AN。

（2）由已知條件，求出線段KC的長度，從而確定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的長度。