Question

（1）分解因式：x⁷+x⁵+1
（2）對(duì)任何正數(shù)t，證明：t⁴-t+

1

2

＞0．

Answer 1

分析：（1）首先把因式添項(xiàng)x⁶再減去x⁶，然后因式分解，再提取公因式即可，
（2）根據(jù)題干t⁴-t+

1

2

=（t⁴-t²+

1

4

）+（t²-t+

1

4

）可知，兩個(gè)完全平方式不可能小于0，結(jié)論可證．

解答：解：（1）x⁷+x⁵+1=x⁷+x⁶+x⁵-x⁶+1
=x⁵（x²+x+1）-（x³+1）（x³-1）
=（x²+x+1）[x⁵-（x-1）（x³+1）]
=（x²+x+1）（x⁵-x⁴+x³-x+1），
（2）t⁴-t+

1

2

=（t⁴-t²+

1

4

）+（t²-t+

1

4

）  
=（t²-

1

2

）²+（t-

1

2

）²≥0  
因?yàn)椋╰²-

1

2

）²與（t-

1

2

）²不可能同時(shí)為0，故等于不成立，因此有：t⁴-t+

1

2

＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配方、待定系數(shù)法和完全平方式的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用拆項(xiàng)和添項(xiàng)解決問(wèn)題的方法，此題難度較大．