Question

（2006•宜賓）已知⊙O₁和⊙O₂的半徑都等于1，O₁O₂=5，在線段O₁O₂的延長線上取一點O₃，使O₂O₃=3，以O(shè)₃為圓心，R=5為半徑作圓．

（1）如圖1，⊙O₃與線段O₁O₂相交于點P₁，過點P₁分別作⊙O₁和⊙O₂的切線P₁A₁、P₁B₁（A₁、B₁為切點），連接O₁A₁、O₂B₁，求P₁A₁：P₁B₁的值；
（2）如圖2，若過O₂作O₂P₂⊥O₁O₂交O₃于點P₂，又過點P₂分別作⊙O₁和⊙O₂的切線P₂A₂、P₂B₂（A₂、B₂為切點），求P₂A₂：P₂B₂的值；
（3）設(shè)在⊙O₃上任取一點P，過點P分別作⊙O₁和⊙O₂的切線PA、PB（A、B為切點），由（1）（2）的探究，請?zhí)岢鲆粋�正確命題．（不要求證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)⊙O₁和⊙O₂的半徑都等于1，O₁O₂=5，O₂O₃=3，⊙O₃的半徑為5，可求出O₁P₁，O₂P₁的長，由于P₁A₁、P₁B₁分別為兩圓的切線，故可根據(jù)勾股定理求出P₁A₁：P₁B₁的值；
（2）連接O₁A₂，O₂B₂，P₂O₁，P₂O₃在Rt△O₂O₃P₂中，根據(jù)勾股定理P₂A₂：P₂B₂的值；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論即可解答．
解答：解：（1）在圖1中，由已知A為切點，得O₁A₁⊥P₁A₁．
∴△O₁A₁P₁是直角三角形．
同理可得△O₂B₁P₁是直角三角形．
∴P₁A₁=，P₁B₁=．
∴P₁A₁：P₁B₁=：=2：．

（2）在圖2中，連接O₁A₂，O₂B₂，P₂O₁，P₂O₃．
在Rt△O₂O₃P₂中，P₂O₂=4，P₂B₂=．
同理可解，得P₂O₁=，P₂A₂=．
∴P₂A₂：P₂B₂=：=：=2：．

（3）提出的命題是開放性的，只要正確都可以．
如：1．設(shè)在⊙O₃上任取一點P，過點P分別作⊙O₁、⊙O₂的切線PA、PB（A、B為切點）．
則有PA：PB=2：或PA：PB是一個常數(shù)；
2．在平面上任取一點P，過點P分別作⊙O₁、⊙O₂的切線PA、PB（A、B為切點），
若PA：PB=：，則點P在⊙O₃上．
點評：此題比較復(fù)雜，信息量較大，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，（3）是開放性題目，答案不唯一．