Question

【題目】如圖，矩形 中，點(diǎn) ，點(diǎn) 分別在 軸， 軸上， 為邊 上的一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)把 沿 對(duì)折， 點(diǎn)落在點(diǎn) 處．已知點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ．

(1) 當(dāng) 點(diǎn)坐標(biāo)為 時(shí)，求 點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2) 在點(diǎn) 沿 從點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)至點(diǎn) 的過(guò)程中，設(shè)點(diǎn) 經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)度為 ，求 的值；

(3) 在點(diǎn) 沿 從點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)至點(diǎn) 的過(guò)程中，若點(diǎn) 落在同一條直線(xiàn) 上的次數(shù)為 次，請(qǐng)直接寫(xiě)出 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ；（2）；(3) ．

【解析】試題分析:(1)依據(jù)題意畫(huà)出圖形,根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)結(jié)合矩形的性質(zhì)得出四邊形OCDP是正方形,由此可得P點(diǎn)坐標(biāo),(2)由OP的長(zhǎng)度為定值,可知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為以2為半徑的圓弧,結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)借助于特殊角的三角函數(shù)值得出∠COP=120°,再套用弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論,(3)取點(diǎn)E(0,4),過(guò)點(diǎn)E作圓O(弧CP段)的切線(xiàn)EP’,連接PP’,找出點(diǎn)P,P’的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出k的值,再結(jié)合圖形即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)如圖1,當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2）時(shí),CD=2,因?yàn)?/span>OC=2,且四邊形OABC為矩形,四邊形OCDP是正方形,所以OP=2,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),

(2)如圖2,因?yàn)樵谶\(yùn)動(dòng)過(guò)程中,OP=OC始終成立,所以OP=2為定長(zhǎng),所以點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心,以2為半徑的圓上,因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)為(,2),所以tan∠COB=,

所以∠COB=60°,∠COP=120°,所以弧長(zhǎng)=,

(3)在圖2的基礎(chǔ)上,取點(diǎn)E(0,4),過(guò)點(diǎn)E作圓O(弧CP段)的切線(xiàn)EP’,切點(diǎn)為P’,連接PP’,因?yàn)?/span>OE=4,OP’=2,所以sin∠OEP’=,所以∠OEP’=30°,所以∠EOP’=60°,

因?yàn)?/span>∠COP=120°,所以∠POP’=60°,因?yàn)?/span>OP=OP’,所以三角形OPP’為等邊三角形,

因?yàn)?/span>OP=2,所以P(),P’(),

當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)y=kx+4上時(shí),有-1=,所以k=,

當(dāng)點(diǎn)P’在y=kx+4上時(shí),有1=,所以k=,

綜合可得:若點(diǎn)P落在同一條直線(xiàn)y=kx+4上的次數(shù)為2次,則k的取值范圍為: .