Question

如圖，點(diǎn)P是半圓O的直徑BA延長線上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），以PO為直徑的半圓C與半圓O交于點(diǎn)D，∠DPB的平分線與半圓C交于點(diǎn)E，過E作EF⊥AB于點(diǎn)F，EG∥PB交PD于點(diǎn)G，連接GA．
（1）求證：PD是半圓O的切線；
（2）若EF=

1

4

AB，當(dāng)GA與半圓O相切時，求tan∠POE的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD．利用圓周角定理即可推知OD⊥PD；
（2）如圖2，延長OE交CD于點(diǎn)K，設(shè)OF=x，EF=y，由2中知，OA=OK=2OE=2y，易得四邊形AFEG是矩形，有GE=AF=OA-OF=2y-x．由于GE∥AB，點(diǎn)E是OK的中點(diǎn)，則EG是△PCK的OC對的中位線，所以PO=2GE=2（2y-x），進(jìn)一步得到PF=PO-OF=4y-3x，由Rt△PEF∽Rt△EOF則有EF²=CF•OF，由此得到關(guān)于x，y的方程，變形即可求出

y

x

=3或

y

x

=1，進(jìn)而確定tan∠POE的值．

解答：（1）證明：如圖1，∵PO為直徑，點(diǎn)D在半圓C上，
∴∠PDO=90°（直徑所的對的圓周角是直角），
∴PD⊥OD．
又∵點(diǎn)D位于半圓O上，
∴PD是半圓O的切線；

（2）解：如圖2，延長OE交CD于點(diǎn)K，
∵EF=

1

4

AB，
∴設(shè)OF=x，EF=y，則OA=2y，
∵GE∥CB，EF⊥CB，GA切半圓O于點(diǎn)A，
∴四邊形AFEN是矩形，
∴GE=AF=OA-OF=2y-x；
∵PE是∠DPB的平分線，PE⊥OK，
∴點(diǎn)E是線段OK的中點(diǎn)，
∴G是PK的中點(diǎn)，
∴PO=2GE=2（2y-x），
∴PF=PO-OF=4y-3x，
∵EF⊥AB，PE⊥EO，
∴Rt△PEF∽Rt△EOF，
∴EF²=CF•OF，即y²=x（4y-3x），
解得，

y

x

=3或

y

x

=1，
當(dāng)

y

x

=3時，tan∠POE=

EF

OF

=

y

x

=3，
當(dāng)

y

x

=1時，點(diǎn)P點(diǎn)與點(diǎn)A重合，不符合題意，故舍去，
∴tan∠POE=3．

點(diǎn)評：本題利用了圓周角定理，直徑對的圓周角定理是直角，角的平分線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切的定義求解，利用的知識比較多，難度比較大．