如圖,點C是半圓O的半徑OB上的動點,作PC⊥AB于C.點D是半圓上位于PC左側(cè)的點,連接BD交線精英家教網(wǎng)段PC于E,且PD=PE.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為4
3
,PC=8
3
,設(shè)OC=x,PD2=y.
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
②當(dāng)x=
3
時,求tanB的值.
分析:(1)要證PD是⊙O的切線只要證明∠PDO=90°即可;
(2)①分別用含有x,y的式子,表示OP2和PD2這樣便可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
②已知x的值,則可以根據(jù)關(guān)系式求得PD的值,已PC的值且PD=PE,從而可得到EC,BE的值,這樣便可求得tanB的值.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:連接OD.
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.                
∵PD=PE,∴∠PDE=∠PED.                
∠PDO=∠PDE+∠ODE
=∠PED+∠OBD
=∠BEC+∠OBD
=90°,
∴PD⊥OD.                            
∴PD是⊙O的切線.                       

(2)解:①連接OP.
在Rt△POC中,
OP2=OC2+PC2=x2+192.                    
在Rt△PDO中,
PD2=OP2-OD2=x2+144.
∴y=x2+144(0≤x≤4
3
).             
(x取值范圍不寫不扣分)
②當(dāng)x=
3
時,y=147,
∴PD=7
3
,(8分)
∴EC=
3
,
∵CB=3
3
,
∴在Rt△ECB中,tanB=
CE
CB
=
3
3
3
=
1
3
點評:此題考查了學(xué)生對切線的判定及綜合解直角三角形的能力.
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(1)求證:PD是半圓O的切線;
(2)若EF=
14
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