Question

如圖，在?ABDC中，分別取AC、BD的中點E和F，連接BE、CF，過點A作AP∥BC，交DC的延長線于點P．
（1）求證：△ABE≌△DCF；
（2）當∠P滿足什么條件時，四邊形BECF是菱形？證明你的結論．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質,全等三角形的判定與性質,菱形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的對角相等可得∠BAC=∠D，對邊相等可得AB=CD，AC=BD，再根據(jù)中點定義求出AE=DF，然后利用“邊角邊”證明即可；
（2）∠P=90°時，四邊形BECF是菱形．先判斷出四邊形ABCP是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角相等可得∠ABC=∠P，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BE=CE，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形BECF是平行四邊形，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明．

解答：（1）證明：在?ABDC中，∠BAC=∠D，AB=CD，AC=BD，
∵E、F分別是AC、BD的中點，
∴AE=DF，
在△ABE和△DCF中，

AB=CD ∠BAC=∠D AE=DF

，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；

（2）解：∠P=90°時，四邊形BECF是菱形．理由如下：
在?ABCD中，AB∥CD，
∵AP∥BC，
∴四邊形ABCP是平行四邊形，
∴∠ABC=∠P=90°，
∵E是AC的中點，
∴BE=CE=

1

2

AC，
∵E、F分別是AC、BD的中點，
∴BF=CE，
又∵AC∥BD，
∴四邊形BECF是平行四邊形，
∴四邊形BECF是菱形（鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．

點評：本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，菱形的判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，熟記各性質是解題的關鍵．