Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，M是AD的中點(diǎn)．點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止．連接EM并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn)F，過(guò)M作EF的垂線交射線BC于點(diǎn)G，連接EG、FG．

（1）設(shè)AE=x時(shí)，△EGF面積為y．求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并填寫自變量x的取值范圍；
（2）P是MG的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）0≤x≤2
（2）2

（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，x=0，y=×2×2=2；
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，0＜x≤2．
在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，
∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF．
∵AM=DM，∠AMF=∠DMF，∴△AME≌△DMF，∴ME=MF．
在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=．∴EF=2MF=2．
過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC，垂足為N（如圖）．則∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM．

∴∠AME+∠EMN=90°．
∵∠EMG=90°，∴∠GMN+∠EMN=90°，∴∠AME=∠GMN，
∴Rt△AME∽R(shí)t△NMG，
∴，即，
∴MG=2ME=2，
∴y=EF·MG=×2×2=2x2+2，
∴y =2x2+2，其中0≤x≤2．
（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為2．