Question

如圖，規(guī)格為60cm×60cm的正方形地磚在運輸過程中受損，斷去一角，量得AF=30cm，CE=45cm，現準備從五邊形地磚ABCDE上截出一個面積為S的矩形地磚PMBN，則S最大值是（ ）

A．1800
B．2700
C．2812
D．3375

Answer 1

【答案】分析：首先設矩形PNBM的邊BN=xcm，NP=ycm，可得矩形PNBM的面積S=xy（30≤x≤60），然后過點P作PG⊥CD于G，利用相似三角形的性質，易求得y=-x+75，然后又二次函數的最值問題，求得答案．
解答：解：設矩形PNBM的邊BN=xcm，NP=ycm，
則矩形PNBM的面積S=xy（30≤x≤60），
∴CN=（60-x）cm，AM=（60-y）cm，
∵AF=30cm，CE=45cm，
∴ED=15cm，DF=30cm，
過點P作PG⊥CD于G，
∴PG∥DF，
∴△PEG∽△FED，
∴，
即：，
∴，
∴y=-x+75，
∴S=xy=-x²+75x（30≤x≤60），
∵此二次函數的圖象開口向下，對稱軸為x=75，
∴當x≤75時，函數值是隨x的增大而增大，
對30≤x≤60來說，當x=60時，S有最大值，
S_最大=-×60²+75×60=2700（cm²）．
故選B．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質、矩形的性質以及二次函數的性質．此題難度較大，注意掌握函數思想與數形結合思想的應用．