Question

【題目】下列圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律組成的，請(qǐng)根據(jù)排列規(guī)律完成下列問(wèn)題：

（1）填寫(xiě)下表：

圖形序號(hào)	菱形個(gè)數(shù)（個(gè)）
①	3
②	7
③	________
④	________
……	……

（2）根據(jù)表中規(guī)律猜想，圖n中菱形的個(gè)數(shù)_______（用含n的式子表示）；

（3）是否存在一個(gè)圖形恰好由111個(gè)菱形組成？若存在，求出圖的序號(hào)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）③ 13，④ 21；（2）圖n中菱形的個(gè)數(shù)（3）存在，是圖⑩．

【解析】

（1）觀察圖形，數(shù)出圖③、圖④中菱形的個(gè)數(shù)；

（2）設(shè)圖n中菱形的個(gè)數(shù)為an（n為正整數(shù)），觀察圖形，找出部分圖形中菱形的個(gè)數(shù)，根據(jù)菱形個(gè)數(shù)的變化（分成上下兩部分，根據(jù)兩部分的變化）可找出變化規(guī)律“an=n2+n+1（n為正整數(shù)）”；

（3）由（2）的結(jié)論結(jié)合菱形的個(gè)數(shù)為111，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之取其正值（正整數(shù)值）即可得出結(jié)論．

（1）觀察圖形，可知：圖③中有13個(gè)菱形，圖④中有21個(gè)菱形．

故答案為：13；21．

（2）設(shè)圖n中菱形的個(gè)數(shù)為an（n為正整數(shù)），

觀察圖形，可知：a1=3=1+2，a2=7=4+3，a3=13=9+4，a4=21=16+5，…，

∴an=n2+n+1（n為正整數(shù)）．

（3）依題意，得：n2+n+1=111，

解得：n1=-11（舍去），a2=10，

∴存在一個(gè)圖形恰好由111個(gè)菱形組成，該圖形的序號(hào)為⑩．