Question

（2013•包頭）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，交AC于點(diǎn)F．
（1）如圖①，當(dāng)

CE

EB

=

1

3

時(shí)，求

S△CEF

S△CDF

的值；
（2）如圖②當(dāng)DE平分∠CDB時(shí)，求證：AF=

2

OA；
（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，求證：CG=

1

2

BG．

Answer 1

分析：（1）利用相似三角形的性質(zhì)求得EF于DF的比值，依據(jù)△CEF和△CDF同高，則面積的比就是EF與DF的比值，據(jù)此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理證得∠ADF=∠AFD，可以證得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以證得；
（3）連接OE，易證OE是△BCD的中位線，然后根據(jù)△FGC是等腰直角三角形，易證△EGF∽△ECD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可證得．

解答：（1）解：∵

CE

EB

=

1

3

，
∴

CE

BC

=

1

4

．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴

EF

DF

=

CE

AD

，
∴

EF

DF

=

CE

BC

=

1

4

，
∴

S△CEF

S△CDF

=

EF

DF

=

1

4

；

（2）證明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的對(duì)角線．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，
在直角△AOD中，根據(jù)勾股定理得：AD=

OA2+OD2

=

2

OA，
∴AF=

2

OA．

（3）證明：連接OE．
∵點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)．
∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)．
又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴OE是△BCD的中位線，
∴OE∥CD，OE=

1

2

CD，
∴△OFE∽△CFD．
∴

EF

DF

=

OE

CD

=

1

2

，
∴

EF

ED

=

1

3

．
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴

GF

CD

=

EF

ED

=

1

3

．
在直角△FGC中，∵∠GCF=45°．
∴CG=GF，
又∵CD=BC，
∴

GF

CD

=

CG

BC

=

1

3

，
∴

CG

BG

=

1

2

．
∴CG=

1

2

BG．

點(diǎn)評(píng)：本題是勾股定理、三角形的中位線定理、以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，理解正方形的性質(zhì)是關(guān)鍵．