Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接AE、BE，且AC和BE相交于點O.

(1)求證：四邊形ABCE是菱形；

(2)如圖2,P是線段BC上一動點(不與B. C重合)，連接PO并延長交線段AE于點Q，過Q作QR⊥BD交BD于R.

①四邊形PQED的面積是否為定值?若是，請求出其值；若不是，請說明理由；

②以點P、Q、R為頂點的三角形與以點B. C. O為頂點的三角形是否可能相似?若可能，請求出線段BP的長；若不可能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①24，②；

【解析】

（1）利用平移的性質以及菱形的判定得出即可；

（2）①首先過E作EF⊥BD交BD于F，則∠EFB=90°，證出△QOE≌△POB，利用QE=BP，得出四邊形PQED的面積為定值；

②當∠QPR=∠BCO時，△PQR∽△CBO，此時有OP=OC=3，過O作OG⊥BC交BC于G，得出△OGC∽△BOC，利用相似三角形的性質得出CG的長，進而得出BP的長．

(1)證明：∵△ABC沿BC方向平移得到△ECD，

∴EC=AB，AE=BC，

∵AB=BC，

∴EC=AB=BC=AE，

∴四邊形ABCE是菱形；

(2)①四邊形PQED的面積是定值，理由如下：

過E作EF⊥BD交BD于F,則∠EFB=90°，

∵四邊形ABCE是菱形，

∴AE∥BC，OB=OE，OA=OC，OC⊥OB，

∵AC=6，

∴OC=3，

∵BC=5，

∴OB=4,sin∠OBC= ，

∴BE=8，

∴EF=BEsin∠OBC=8×，

∵AE∥BC，

∴∠AEO=∠CBO，四邊形PQED是梯形，

在△QOE和△POB中

，

∴△QOE≌△POB，

∴QE=BP，

∴S = (QE+PD)×EF= (BP+DP)×EF=×BD×EF=×2BC×EF=BC×EF=5× =24；

②△PQR與△CBO可能相似，

∵∠PRQ=∠COB=90°，∠QPR>∠CBO，

∴當∠QPR=∠BCO時,△PQR∽△CBO，此時有OP=OC=3.

過O作OG⊥BC交BC于G.

∵∠OCB=∠OCB，∠OGC=∠BOC，

∴△OGC∽△BOC，

∴CG:CO=CO:BC，

即CG:3=3:5，

∴CG= ，

∴BP=BCPC=BC2CG=52×= .