Question

如圖，兩個(gè)同心圓的圓心是O，大圓的半徑為13，小圓的半徑為5，AD是大圓的直徑．大圓的弦AB，BE分別與小圓相切于點(diǎn)C，F．AD，BE相交于點(diǎn)G，連接BD．

（1）求BD 的長(zhǎng)；

（2）求∠ABE+2∠D的度數(shù)；

（3）求的值．

 

Answer 1

解： （1）連接OC，并延長(zhǎng)BO交AE于點(diǎn)H，

∵AB是小圓的切線，C是切點(diǎn)，

∴OC⊥AB，

∴C是AB的中點(diǎn)． 

∵AD是大圓的直徑，

∴O是AD的中點(diǎn)．

∴OC是△ABD的中位線．

∴BD=2OC=10． 

（2） 連接AE，由（1）知C是AB的中點(diǎn)．

同理F是BE的中點(diǎn)．

由切線長(zhǎng)定理得BC=BF．

∴BA=BE．                       

∴∠BAE=∠E．

∵∠E=∠D， 

∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180º．

（3） 連接BO，在Rt△OCB中，

∵OB=13，OC=5，

∴BC=12． 

由（2）知∠OBG=∠OBC=∠OAC．

∵∠BGO=∠AGB，

∴△BGO∽△AGB． 

∴．