Question

【題目】（1）如圖1，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交AC于點D，連接BD. 若AC=2，BC=1，則△BCD的周長為___________________.

（2）O為正方形ABCD的中心，E為CD邊上一點，F為AD邊上一點，且△EDF的周長等于AD的長.

①在圖2中求作△EDF.（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

②在圖3中補全圖形，求∠EOF的度數(shù).

③若，則=_______________.

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】（1）3；（2）①作圖見解析；②45°；③.

【解析】試題分析：（1）由線段垂直平分線的性質得出BD=AD，得出△BCD的周長=BC+CD+BD=BC+AC，即可得出結果；

（2）①在AD上截取AH=DE，再作EG的垂直平分線，交AD于F，△EDF即為所求；

②連接OA、OD、OH，由正方形的性質得出∠1=∠2=45°，由SAS證明△ODE≌△OAH，得出∠DOE=∠AOH，OE=OH，得出∠EOH=90°，證出EF=HF，由SSS證明△EOF≌△HOF，得出∠EOF=∠HOF=45°即可；

③作OG⊥CD于G，OK⊥AD于K，設AF=8t，則CE=9t，設OG=m，由正方形的性質得出GE=CE-CG=9t-m，DE=2CG-CE=2m-9t，FK=AF-KA=8t-m，DF=2DK-AF=2m-8t，由HL證明Rt△EOG≌Rt△HOK，得出GE=KH，因此EF=GE+FK=17t-2m，由勾股定理得出方程，解方程求出m=6t，得出OG=OK=6t，GE=9t-m=9t-6t=3t，FK=8t-m=2t，由勾股定理即可得出結果．

試題解析：（1）∵AB的垂直平分線交AC于點D，

∴BD=AD，

∴△BCD的周長=BC+CD+BD=BC+AC=1+2=3，

故答案為：3；

（2）①如圖1所示：△EDF即為所求；

②如圖2所示：

AH=DE，連接OA、OD、OH，

∵點O為正方形ABCD的中心，

∴OA=OD，∠AOD=90°，∠1=∠2=45°，

在△ODE和△OAH中，

，

∴△ODE≌△OAH（SAS），

∴∠DOE=∠AOH，OE=OH，

∴∠EOH=90°，

∵△EDF的周長等于AD的長，

∴EF=HF，

在△EOF和△HOF中，

，

∴△EOF≌△HOF（SSS），

∴∠EOF=∠HOF=45°；

③作OG⊥CD于G，OK⊥AD于K，如圖3所示：

設AF=8t，則CE=9t，設OG=m，

∵O為正方形ABCD的中心，

∴四邊形OGDK為正方形，CG=DG=DK=KA=AB=OG，

∴GE=CE﹣CG=9t﹣m，DE=2CG﹣CE=2m﹣9t，FK=AF﹣KA=8t﹣m，DF=2DK﹣AF=2m﹣8t，

由（2）②知△EOF≌△HOF，

∴OE=OH，EF=FH，

在Rt△EOG和Rt△HOK中，

，

∴Rt△EOG≌Rt△HOK（HL），

∴GE=KH，

∴EF=GE+FK=9t﹣m+8t﹣m=17t﹣2m，

由勾股定理得：DE2+DF2=EF2，

∴（2m﹣9t）2+（2m﹣8t）2=（17t﹣2m）2，

整理得：（m+6t）（m﹣6t）=0，

∴m=6t，

∴OG=OK=6t，GE=9t﹣m=9t﹣6t=3t，FK=8t﹣m=2t，

∴===．

故答案為．