Question

11．如圖，拋物線y=ax²+bx與x軸交于點A（4，0），點B（1，3）在拋物線上，點C、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．
（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；
（2）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，當△ABP的面積為6時，求出點P的坐標；
（3）若點M在直線BH上運動且在x軸下方，點N在x軸上運動，當以點M為直角頂點的△CMN為等腰直角三角形時，求出此時△CMN的面積．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再利用點C、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱確定出點C的坐標；
（2）利用三角形的面積建立方程求解即可得出結(jié)論；
（3）先由等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出Rt△NHM≌Rt△MBC得出BC，BM，最后用面積公式求解即可．

解答 解：（1）把點A（4，0），B（1，3）代入拋物線y=ax²+bx中，得，
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線y=-x²+4x，
設(shè)點C（c，3），
∴3=-c²+4c，
∴c=3或c=1（舍），
∴C（3，3）．
（2）如圖1，

過點P作PD⊥BH，連接PH，
設(shè)P（m，-m²+4m），
∴BH=AH=3，HD=m²-4m，PD=m-1，
∴S_△ABP=S_△ABH+S_△AHP-S_△BHP
=$\frac{1}{2}$BH×AH+$\frac{1}{2}$AH×HD-$\frac{1}{2}$BH×PD
=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$×3×（m²-4m）-$\frac{1}{2}$×3×（m-1）
=$\frac{3}{2}$m²-$\frac{15}{2}$m+6，
∵△ABP的面積為6，
∴$\frac{3}{2}$m²-$\frac{15}{2}$m+6=6，
∴m=0（舍）或m=5，
∴P（5，-5）；
（3）如圖2，

以點M為直角頂點的△CMN為等腰直角三角形，
∴CM=MN，∠CMN=90°，
∴∠NMH+∠CMB=90°，
∵∠CMB+∠BCM=90°，
∴∠NMH=∠BCM，
在Rt△NHM和Rt△MBC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NMH=∠BCM}\\{MN=CM}\\{∠MHN=∠CBM}\end{array}\right.$，
∴Rt△NHM≌Rt△MBC（ASA），
∴MH=BC=2，BM=5，
根據(jù)勾股定理得，MC=$\sqrt{B{M}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$CM²=$\frac{29}{2}$．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是確定出待定系數(shù)法和三角形的面積的計算方法．