Question

（2013年四川瀘州12分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，），已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過三點(diǎn)A、B、O（O為原點(diǎn)）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)C，使△BOC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如果點(diǎn)P是該拋物線上x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及△PAB的最大面積；若沒有，請(qǐng)說明理由．（注意：本題中的結(jié)果均保留根號(hào)）

 

Answer 1

【答案】

解：（1）將A（﹣2，0），B（1，），O（0，0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+c（a≠0），得：

，解得：。

∴所求拋物線解析式為。

（2）存在。理由如下：

如答圖①所示，

∵，

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=﹣1。

∵點(diǎn)C在對(duì)稱軸x=﹣1上，△BOC的周長(zhǎng)=OB+BC+CO。

∵OB=2，∴要使△BOC的周長(zhǎng)最小，必須BC+CO最小。

∵點(diǎn)O與點(diǎn)A關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱，有CO=CA，

△BOC的周長(zhǎng)=OB+BC+CO=OB+BC+CA，

∴當(dāng)A、C、B三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C為直線AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，BC+CA最小，此時(shí)△BOC的周長(zhǎng)最小。

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+t，則有：

，解得：。

∴直線AB的解析式為。

當(dāng)x=﹣1時(shí)，，∴所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，）。

（3）設(shè)P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），

則①

如答圖②所示，過點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q，PG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AF⊥PQ軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE⊥PQ軸于點(diǎn)E，則PQ=﹣x，PG=y，由題意可得：

將①代入②得：

，

∴當(dāng)x=時(shí)，△PAB的面積最大，最大值為。

此時(shí)。

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）。

【解析】（1）直接將A、O、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式的一般式，可求解析式。

（2）因?yàn)辄c(diǎn)A，O關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接AB交對(duì)稱軸于C點(diǎn)，C點(diǎn)即為所求，求直線AB的解析式，再根據(jù)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)值，求縱坐標(biāo)。

（3）設(shè)P（x，y）（﹣2＜x＜0，y＜0），用割補(bǔ)法可表示△PAB的面積，根據(jù)面積表達(dá)式再求取最大值時(shí)，x的值。

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，軸對(duì)稱的應(yīng)用（線段和最小的問題），由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)最值，轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用。