【題目】如圖,直線y=2x+2交y軸于A點,交x軸于C點,以O(shè),A,C為頂點作矩形OABC,將矩形OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到矩形ODEF,直線AC交直線DF于G點.

(1)求直線DF的解析式;

(2)求證:GO平分CGD;

(3)在角平分線GO上找一點M,使以點G、M、D為頂點的三角形是等腰直角三角形,求出M點坐標.

【答案】(1)y=﹣x+1(2見解析3)M點的坐標為(,﹣)和(,﹣).

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)直線的解析式找出點A、C的坐標,再由旋轉(zhuǎn)的特性找出點D、F的坐標,結(jié)合點D、F的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線DF的解析式;

(2)過點O作OPAC于點P,作OQDG于點Q,利用全等直角三角形的判定定理HL證出RtOACRtODF和RtOPGRtOQG,由此即可得出PGO=QGO,從而證出GO平分CGD;

(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出ACDF,結(jié)合(2)的結(jié)論即可得出OGD=45°,聯(lián)立直線AC、DF的解析式成方程組,解方程組可得出點G的坐標,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可分兩種情況尋找點M的位置,再通過勾股定理解方程等即可得出結(jié)論.

解:(1)直線y=2x+2交y軸于A點,交x軸于C點,

A點的坐標是(0,2),C點的坐標是(﹣1,0),

將矩形OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到矩形ODEF,

F點的坐標是(0,1),D點的坐標是(2,0),

設(shè)直線DF的解析式是y=kx+1,

2k+1=0,

解得k=﹣,

直線DF的解析式是:y=﹣x+1.

(2)過點O作OPAC于點P,作OQDG于點Q,如圖1所示.

在RtOAC和RtODF中,,

RtOACRtODF(HL),

OPAC,OQDG,

OP=OQ,

在RtOPG和RtOQG中,,

RtOPGRtOQG(HL),

∴∠PGO=QGO,

OG平分CGD.

(3)矩形OABC繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到矩形ODEF,

對角線ACDF,

GO平分CGD,

∴∠OGD=45°.

得:,

即點G(﹣),

直線GO為y=﹣3x.

D(2,0),

GD==,GO==

以點G、M、D為頂點的三角形是等腰直角三角形分兩種情況:

①過D作DM1GO于點M1,則GM1D是以GD為斜邊的等腰直角三角形,過M1作M1HOD于點H,如圖2所示.

GD=,

GM1=DM1=×=

GO=

OM1=GM1﹣GO==

設(shè)點M1(x,﹣3x),在RtOM1H中有,

即x2+(﹣3x)2=,解得:x=或x=﹣(舍去).

點M1,﹣);

②過D作DM2GD交GO于M2,則GM2D是以GD為直角邊的等腰直角三角形,過M2作M2IOD于點I,如圖3所示.

GD=,

GM2=×=

GO=,

OM2=GM2﹣GO==

設(shè)M2(a,﹣3a),在RtOM2I中有,

即a2+(﹣3a)2=,解得:a=或a=﹣(舍去),

點M2,﹣).

綜上可得:使以點G、M、D為頂點的三角形是等腰直角三角形的M點的坐標為(,﹣)和(,﹣).

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