Question

已知，如圖，拋物線y=ax²+bx+4（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），對(duì)稱軸是x=-1．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AC，分別交y軸、BC于點(diǎn)P、N，連接CM．當(dāng)△CMN的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，求

S△CPN

S△ABC

的值．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+4（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），對(duì)稱軸是x=-1，利用待定系數(shù)法求解即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）由（1）即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，則可求得AB與BM的長(zhǎng)，又由MN∥AC，即可證得△BMN∽△BAC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得NE的長(zhǎng)，S_△CMN=S_△CBM-S_△NBM，求得S_△CMN=-

1

3

(m+1)2+3，則可求得△CMN的面積最大時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）由A（-4，0）、B（2，0）、C（0，4）、M（-1，0），則可證得△AOC是等腰直角三角形，求得AC的長(zhǎng)，又由MN∥AC，證得△MOP是等腰直角三角形，即可求得△CPM的面積，然后由S_△CPN=S_△CMN-S_△CPM求得△CPN的面積，又由S_△ABC=

1

2

AB•OC=12，求其比值即可求得答案．

解答：解：（1）由題意，得

16a-4b+4=0 - b 2a =-1

，
解得

a=- 1 2 b=-1

，
∴所求拋物線的解析式為：y=-

1

2

x2-x+4．

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)N作NE⊥x軸于點(diǎn)E．
由-

1

2

x2-x+4=0，得x₁=-4，x₂=2．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）．
∴AB=6，BM=2-m．
∵M(jìn)N∥AC，
∴△BMN∽△BAC．
∴

NE

CO

=

BM

BA

，
即

NE

4

=

2-m

6

．
∴NE=

4-2m

3

．
∴S_△CMN=S_△CBM-S_△NBM=

1

2

BM•CO-

1

2

BM•NE=

1

2

(2-m)(4-

4-2m

3

)=-

1

3

m2-

2

3

m+

8

3

=-

1

3

(m+1)2+3．
又∵-4≤m≤2，
∴當(dāng)m=-1時(shí)，S_△CMN有最大值3，此時(shí)M（-1，0）．

（3）∵A（-4，0）、B（2，0）、C（0，4）、M（-1，0），
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC=4

2

，
∵M(jìn)N∥AC，
∴∠PMO=∠CAO=45°，
∴△MOP是等腰直角三角形，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1），
∴CP=3，
∴S_△CPM=

1

2

CP•MO=

3

2

，
∴S_△CPN=S_△CMN-S_△CPM=3-

3

2

=

3

2

，
∵S_△ABC=

1

2

AB•OC=12，
∴

S△CPN

S△ABC

=

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的求解方法等知識(shí)．題目綜合性很強(qiáng)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．