Question

【題目】如圖,在Rt△ABO中,∠BOA=90°,∠BAO=30°.以AB為一邊向上作等邊三角形ABE,點(diǎn)D為OA垂直平分線上的一點(diǎn),且AD⊥AB,連接BD、OD、OE.

(1)判斷△ADO的形狀,并說(shuō)明理由;

(2)求證:BD=OE

(3)在射線BA上有一動(dòng)點(diǎn)P,若△PAO為等腰三角形,直接寫出∠AOP的度數(shù)

Answer 1

【答案】（1）△ADO是等邊三角形，理由見解析；（2）證明見解析；（3）75°或30°或15°.

【解析】

（1）根據(jù)AD⊥AB且∠BAO=30°可求出∠DAO=60°，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到OD=DA，即可證明△ADO是等邊三角形；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合SAS證明△ABD≌△AEO即可；

（3）分情況討論：①當(dāng)OA=AP時(shí)，②當(dāng)OP=AP時(shí)，③當(dāng)OA=AP時(shí)，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)求解即可.

（1）△ADO是等邊三角形；

理由：∵DA⊥BA，∠BAO=30°，

∴∠DAO=90°-30°=60°，

∵點(diǎn)D為OA垂直平分線上的一點(diǎn)，

∴OD=DA，

∴△ADO是等邊三角形；

（2）∵△ABE、△ADO是等邊三角形，

∴DA=OA，AB=AE，∠OAD=∠EAB=60°，

∵∠BAO=30°，

∴∠BAD=EAO=90°，

∴△ABD≌△AEO（SAS），

∴BD=OE；

（3）分情況討論：

①當(dāng)OA=AP時(shí)，如圖，

∵∠BAO=30°，

∴∠AOP1=（180°－30°）÷2=75°；

②當(dāng)OP=AP時(shí)，如圖，

∵∠BAO=30°，

∴∠AOP2=∠BAO=30°；

③當(dāng)OA=AP時(shí)，如圖，

∴∠AOP3=∠AP3O，

∵∠BAO=30°，

∴∠AOP3=∠BAO=15°，

綜上所述：∠AOP的度數(shù)為75°或30°或15°.