Question

（2009•崇左）如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延長BC到E，使CE=AD．
（1）證明：△BAD≌△DCE；
（2）如果AC⊥BD，求等腰梯形ABCD的高DF的值．

Answer 1

【答案】分析：第一問AB=DC，AD=CE容易知道，關鍵要會觀察∠BAD=∠CDA=∠DCE；第二問由AC∥DE，∵AC⊥BD，∴DE⊥BD，然后推出△BDE是等腰三角形是關鍵．
解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠CDA=∠DCE．（1分）
又∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAD=∠CDA，（2分）
∴∠BAD=∠DCE．（3分）
∵AB=DC，AD=CE，
∴△BAD≌△DCE；（5分）

（2）解：∵AD=CE，AD∥BC，
∴四邊形ACED是平行四邊形，（7分）
∴AC∥DE．（8分）
∵AC⊥BD，
∴DE⊥BD．（9分）
由（1）可知，△BAD≌△DCE，
∴DE=BD．（10分）
所以，△BDE是等腰直角三角形，即∠E=45°，
∴DF=FE=FC+CE．（12分）
∵四邊形ABCD是等腰梯形，而AD=2，BC=4，
∴FC=（BC-AD）=（4-2）=1．（13分）
∵CE=AD=2，
∴DF=3．（14分）
點評：要掌握等腰三角形和等腰梯形的性質(zhì)，還要善于觀察和推理．