【題目】如圖1,在矩形ABCD中,P為CD邊上一點(diǎn)(DP<CP),∠APB=90°.M在AB上,且∠APM=∠APD,過點(diǎn)B作BN∥MP交DC于點(diǎn)N.
(1)求證:四邊形PMBN是菱形;
(2)求證:ADBC=DPPC;
(3)如圖2,連接AC,分別交PM,PB于點(diǎn)E,F,若DP=1,AD=2,求的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)
【解析】
(1)DP∥AB,所以∠DPA=∠PAM,由題意可知:∠DPA=∠APM,所以∠PAM=∠APM,由于∠APB﹣∠PAM=∠APB﹣∠APM,即∠ABP=∠MPB,從而可知PM=MB=AM,又易證四邊形PMBN是平行四邊形,所以四邊形PMBN是菱形;
(2)根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DAP=∠BPC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=AD=2,求得AB=CD=5,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠APD=∠PAM,推出AM=MP,得到AM=MB=,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,求得,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,得到,于是得到結(jié)論.
(1)證明:在矩形ABCD中,DC∥AB,
∵BN∥MP,
∴四邊形PMBN是平行四邊形,
∵∠APB=90°,
∴∠APM+∠BPM=90°,
∠APD+∠BPC=90°,
∵∠APM=∠APD,
∴∠BPM=∠BPC,
∵DC∥AB,
∴∠BPC=∠PBM,
∵∠BPM=∠PBM
∴MP=MB,
∴平行四邊形PMBN是菱形;
(2)證明:在矩形ABCD中,∠D=∠C=90°,
∴∠APD+∠DAP=90°,
∵∠APD+∠BPC=90°,
∴∠DAP=∠BPC,
∴△ADP∽△PCB,
∴,
∴ADBC=DPPC;
(3)解:∵四邊形ABCD是矩形,
∴BC=AD=2,
由(2)得ADBC=DPPC
∴PC=4,
∴AB=CD=5,
在矩形ABCD中,DC∥AB,
∴∠APD=∠PAM,
∵∠APM=∠APD,
∴∠PAM=∠APM,
∴AM=MP,
由(1)得MP=MB,
∴AM=MB=,
∵DC∥AB,
∴∠PCA=∠CAB,
∵∠PFC=∠BFA,
∴△PCF∽△BAF,
∴,
∴,
同理可得△PCE∽△MAE,
∴,
∴,
∴EF=AC﹣CF﹣AE=AC,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD,將邊CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段CE,連接DE,AE,BD交于點(diǎn)F.
(1)求∠AFB的度數(shù);
(2)求證:BF=EF;
(3)連接CF,直接用等式表示線段AB,CF,EF的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,四條拋物線如圖所示,其解析式中的二次項(xiàng)系數(shù)一定小于1的是( 。
A. y1 B. y2 C. y3 D. y4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,P是CB邊上一動點(diǎn),連接AP,作PQ⊥AP交AB于Q.已知AC=3cm,BC=6cm,設(shè)PC的長度為xcm,BQ的長度為ycm.
小青同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.
下面是小青同學(xué)的探究過程,請補(bǔ)充完整:
(1)按照下表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量,分別得到了y的幾組對應(yīng)值;
x/cm | 0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 6 |
y/cm | 0 | 1.56 | 2.24 | 2.51 | m | 2.45 | 2.24 | 1.96 | 1.63 | 1.26 | 0.86 | 0 |
(說明:補(bǔ)全表格時(shí),相關(guān)數(shù)據(jù)保留一位小數(shù))
m的值約為多少cm;
(2)在平面直角坐標(biāo)系中,描出以補(bǔ)全后的表格中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)(x,y),畫出該函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:
①當(dāng)y>2時(shí),寫出對應(yīng)的x的取值范圍;
②若點(diǎn)P不與B,C兩點(diǎn)重合,是否存在點(diǎn)P,使得BQ=BP?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在測量“河流寬度”的綜合與實(shí)踐活動中,小李同學(xué)設(shè)計(jì)的方案及測量數(shù)據(jù)如下:在河對岸邊選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A,在近岸取點(diǎn)B,C,D (點(diǎn)B,C,D在同一條直線上),AB⊥BD,∠ACB=45°,CD=20米,且.若測得∠ADB=25°,請你幫助小李求河的寬度AB.(sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47,結(jié)果精確到0.1米).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了落實(shí)國務(wù)院的指示精神,某地方政府出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策,使農(nóng)民收入大幅度增加.某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品,已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每千克20元,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量y(千克)與銷售價(jià)x(元/千克)有如下關(guān)系:y=﹣2x+80.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w元.
(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)該產(chǎn)品銷售價(jià)定為每千克多少元時(shí),每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?
(3)如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于每千克28元,該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤,銷售價(jià)應(yīng)定為每千克多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O半徑為10cm,弦AB垂直平分半徑OC,并交OC于點(diǎn)D.
(1)求弦AB的長;
(2)求弧AB的長,并求出圖中陰影部分面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長線上,點(diǎn)C在⊙O上,AC=CD,∠ACD=120°.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.
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