如圖,矩形OABC,A(5,0),C(0,3).直線y=kx交折線A-B-C于點P,點A關于OP的對稱點A′
(1)當A′恰好在CB邊上時,C A′=______,k=______
(2)k=______
【答案】
分析:(1)如圖1,連接OA′,AA′.設A′(x,3).
根據矩形的性質,點的坐標與圖形的性質以及勾股定理求得CA′=4,然后結合A(5,0)求得AA′的中點D的坐標是(4.5,1.5),從而求得k的值;
(2)因為該拋物線經過點O、A,故可設交點式函數解析式y(tǒng)=ax(x-5)(a<0).由頂點坐標公式求得A′的坐標,結合軸對稱的性質來求a的值;
(3)根據全等三角形的對應邊相等和對應角相等、勾股定理以及正切函數的定義來求k的值.
(4)根據題意,畫出圖形,根據圖形回答問題.
解答:解:(1)如圖1,連接OA′,AA′.設A′(x,3)(0<x<5).
∵在矩形OABC中,A(5,0),C(0,3),
∴OA=5,OC=3.
∵點A與點A′關于直線OP對稱,
∴OA′=OA=5,
∴在Rt△OCA′中,利用勾股定理知,CA′=
=
=4,
即C A′=4,
∴A′(4,3),
∴線段AA′的中點D的坐標是(4.5,1.5)在直線OP上,
∴k=
=
.
(2)∵該拋物線經過點O、A,
∴可設交點式函數解析式y(tǒng)=ax(x-5)(a<0),即y=a(x-
)
2-
a.
∵該拋物線以點A′為頂點,
∴A′(
,-
a).
∴k
AA′=
=
,線段AA′的中點的坐標是(
,-
a).
又∵點A與點A′關于直線OP對稱,
∴線段AA′的中點的坐標是(
,-
a)在直線OP上,
則
,
解得,
,
∴該拋物線的解析式是
或
;
(3)當k=
時,△A′EF≌△BPF.理由如下:
如圖2,設P(5,y).∵點A與點A′關于直線OP對稱,
∴△OAP≌△OA′P,
∴AP=A′P,OA=OA′=5.
∵△A′EF≌△BPF,
∴A′F=FB,A′E=BP,∠A′=∠B=90°,∠A′EF=∠BPF,
∴∠CEO=∠BPF,
∴
,
解得,y=
,則k=
=
;
(4)如圖3,最多有6個交點,k的取值范圍是:
且
.
當0<k<
時,有4個共同點
k=
或
時,有5個共同點;
k=
時,有4個共同點.
故答案是:4,
;
;k=
,
或
;6,
且
.
點評:本題考查了二次函數綜合題.注意,方程組的解法的應用.