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如圖,矩形OABC,A(5,0),C(0,3).直線y=kx交折線A-B-C于點P,點A關于OP的對稱點A′
(1)當A′恰好在CB邊上時,C A′=______,k=______
(2)k=______
【答案】分析:(1)如圖1,連接OA′,AA′.設A′(x,3).
根據矩形的性質,點的坐標與圖形的性質以及勾股定理求得CA′=4,然后結合A(5,0)求得AA′的中點D的坐標是(4.5,1.5),從而求得k的值;
(2)因為該拋物線經過點O、A,故可設交點式函數解析式y(tǒng)=ax(x-5)(a<0).由頂點坐標公式求得A′的坐標,結合軸對稱的性質來求a的值;
(3)根據全等三角形的對應邊相等和對應角相等、勾股定理以及正切函數的定義來求k的值.
(4)根據題意,畫出圖形,根據圖形回答問題.
解答:解:(1)如圖1,連接OA′,AA′.設A′(x,3)(0<x<5).
∵在矩形OABC中,A(5,0),C(0,3),
∴OA=5,OC=3.
∵點A與點A′關于直線OP對稱,
∴OA′=OA=5,
∴在Rt△OCA′中,利用勾股定理知,CA′===4,
即C A′=4,
∴A′(4,3),
∴線段AA′的中點D的坐標是(4.5,1.5)在直線OP上,
∴k==

(2)∵該拋物線經過點O、A,
∴可設交點式函數解析式y(tǒng)=ax(x-5)(a<0),即y=a(x-2-a.
∵該拋物線以點A′為頂點,
∴A′(,-a).
∴kAA′==,線段AA′的中點的坐標是(,-a).
又∵點A與點A′關于直線OP對稱,
∴線段AA′的中點的坐標是(,-a)在直線OP上,
,
解得,
∴該拋物線的解析式是;

(3)當k=時,△A′EF≌△BPF.理由如下:
如圖2,設P(5,y).∵點A與點A′關于直線OP對稱,
∴△OAP≌△OA′P,
∴AP=A′P,OA=OA′=5.
∵△A′EF≌△BPF,
∴A′F=FB,A′E=BP,∠A′=∠B=90°,∠A′EF=∠BPF,
∴∠CEO=∠BPF,
,
解得,y=,則k==;

 (4)如圖3,最多有6個交點,k的取值范圍是:
當0<k<時,有4個共同點
k=時,有5個共同點;
k=時,有4個共同點.
故答案是:4,;k=,;6,
點評:本題考查了二次函數綜合題.注意,方程組的解法的應用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,矩形OABC的邊OA、OC在坐標軸上,經過點B的雙曲線的解析式為y=
k
x
(x
<0),M為OC上一點,且CM=2OM,N為BC的中點,BM與AN交于點E,若四邊形EMCN的面積為
13
4
,則k=
 

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科目:初中數學 來源: 題型:

13、如圖,矩形OABC的頂點O為坐標原點,點A在x軸上,點B的坐標為(2,1).如果將矩形0ABC繞點O旋轉180°旋轉后的圖形為矩形OA1B1C1,那么點B1的坐標為(  )

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2012•紹興)如圖,矩形OABC的兩邊在坐標軸上,連接AC,拋物線y=x2-4x-2經過A,B兩點.
(1)求A點坐標及線段AB的長;
(2)若點P由點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿AB邊向點B移動,1秒后點Q也由點A出發(fā)以每秒7個單位的速度沿AO,OC,CB邊向點B移動,當其中一個點到達終點時另一個點也停止移動,點P的移動時間為t秒.
①當PQ⊥AC時,求t的值;
②當PQ∥AC時,對于拋物線對稱軸上一點H,∠HOQ>∠POQ,求點H的縱坐標的取值范圍.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,矩形OABC在平面直角坐標系內(O為坐標原點),點A在x軸上,點C在y軸上,點B的坐標為(-2,2
3
),點E是BC的中點,點H在OA上,且AH=
1
2
,過點H且平行于y軸的HG與EB交于點G,現將矩形折疊,使頂點C落在HG上,并與HG上的點D重合,折痕為EF,點F為折痕與y軸的交點.

(1)求∠CEF的度數和點D的坐標;
(2)求折痕EF所在直線的函數表達式;
(3)若點P在直線EF上,當△PFD為等腰三角形時,試問滿足條件的點P有幾個,請求出點P的坐標,并寫出解答過程.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,矩形OABC的頂點B點坐標為(3,2),點D是BC的中點.
(1)將△ABD向左平移3個單位,則點D的對應點E的坐標為
(-
3
2
,0)
(-
3
2
,0)
;
(2)若點E在雙曲線y=
k
x
上,則k的值為
-3
-3
,直線OE與雙曲線的另一個交點F的坐標是
3
2
,-2)
3
2
,-2)
;
(3)若在y軸上有一動點P,當點P運動到何處時PB+PF的值最?求出此時的P點坐標.

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