Question

某小飲料廠生產甲、乙兩種飲料，每種飲料的成本和利潤率如表所示．若兩種飲料每天共生產500瓶，需投入總成本y元．設每天生產甲種飲料x瓶．
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）如果該廠每天投入的總成本不超過1800元，則至少要安排生產甲種飲料多少瓶？
（3）若該廠希望每天的利潤率不低于25%，且使投入的總成本最低，應如何安排生產？此時最低成本為多少元？

Answer 1

分析：（1）由兩種飲料每天共生產500瓶，每天生產甲種飲料x瓶，即可得每天生產乙種飲料（500-x）瓶，然后根據題意即可得y與x之間的函數關系式為y=3x+5（500-x），化簡即可求得答案；
（2）由該廠每天投入的總成本不超過1800元，可得不等式-2x+2500≤1800，解此不等式即可求得答案；
（3）根據題意即可得不等式：3x×20%+5（500-x）×37%≥（-2x+2500）×25%，解此不等式即可得到x的取值范圍，又由（1）中一次函數的增減性問題，即可求得答案．

解答：解：（1）∵兩種飲料每天共生產500瓶，每天生產甲種飲料x瓶，
∴每天生產乙種飲料（500-x）瓶，
根據題意得：y=3x+5（500-x）=-2x+2500；
∴y與x之間的函數關系式為y=-2x+2500；

（2）∵該廠每天投入的總成本不超過1800元，
∴-2x+2500≤1800，
∴x≥350，
∴少要安排生產甲種飲料350瓶；

（3）根據題意得：3x×20%+5（500-x）×37%≥（-2x+2500）×25%，
解得：x≤400，
由（1）投入的總成本為y=-2x+2500，
∵k=-2＜0，
∴y隨x增大而減小，
∴當x=400時，y最小，y=-2×400+2500=1700，
∴每天生產甲種飲料400瓶，每天生產乙種飲料100瓶時，總成本最低，此時最低成本為1700元．

點評：此題考查了一次函數與不等式的實際應用問題．此題難度較大，解題的關鍵是理解題意，根據題意求得函數解析式與不等式，然后根據函數的性質求解．