Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且BD為直徑，∠ACB=45°，過A點(diǎn)的AC的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．


（1）求證：BE=CD；
（2）如果AD= ，求圖中陰影的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BD為⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°，

∵∠ACB=45°，

∴∠ADB=∠ACB=45°，

∵AE⊥AC，

∴△ADE與△ABD是等腰直角三角形，

∴AE=AC，AB=AD，∠EAC=∠BAD=90°，

∴∠EAB=∠CAD，

在△ABE與△ADC中， ，

∴△ABE≌△ADC，

∴BE=CD；

（2）

解：連接AO，則∠AOD=90°，

∵AD= ，

∴AO=OD=1，

∴S陰影=S扇形﹣S△AOD= ﹣ ×1×1= ﹣ ．

【解析】（1）由BD為⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=∠ACB=45°，推出△ADE與△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連接AO，則∠AOD=90°，根據(jù)勾股定理得到AO=OD=1，根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)(把圓分成n(n≥3):1、依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形2、經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形)，還要掌握扇形面積計(jì)算公式(在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．