Question

某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，李明在政府的扶持下投資銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈．銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=-10x+500．
（1）設(shè)李明每月獲得利潤(rùn)為w（元），當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？
（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤(rùn)，那么銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
（3）根據(jù)物價(jià)部門(mén)規(guī)定，這種護(hù)眼臺(tái)燈的銷(xiāo)售單價(jià)不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤(rùn)不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本=進(jìn)價(jià)×銷(xiāo)售量）

Answer 1

分析：（1）由題意得，每月銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售單價(jià)之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)，利潤(rùn)=（定價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷(xiāo)售量，從而列出關(guān)系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，從而求出銷(xiāo)售單價(jià)；（3）根據(jù)拋物線的性質(zhì)和圖象，求出每月的成本．

解答：解：（1）由題意，得：w=（x-20）•y，
=（x-20）•（-10x+500）=-10x²+700x-10000，
x=-

b

2a

=35，
答：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為35元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)．

（2）由題意，得：-10x²+700x-10000=2000，
解這個(gè)方程得：x₁=30，x₂=40，
答：李明想要每月獲得2000元的利潤(rùn)，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為30元或40元．

（3）∵a=-10＜0，
∴拋物線開(kāi)口向下，
∴當(dāng)30≤x≤40時(shí)，w≥2000，
∵x≤32，
∴當(dāng)30≤x≤32時(shí)，w≥2000，
設(shè)成本為P（元），由題意，得：P=20（-10x+500）=-200x+10000，
∵a=-200＜0，
∴P隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=32時(shí)，P_最小=3600，
答：想要每月獲得的利潤(rùn)不低于2000元，每月的成本最少為3600元．

點(diǎn)評(píng)：此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查拋物線的基本性質(zhì)，另外將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，從而來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．