Question

如圖所示，⊙M交兩坐標軸于點A、B、C、D，已知A（6，0）、B（0，3）、C（-2，0）．
（1）求點D的坐標；
（2）求圓心M的坐標；
（3）若MN⊥AD于N，求證：MN=BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先得出△BCO∽△AOD，再利用相似三角形的性質得出OD的長，即可得出D點坐標；
（2）首先利用垂徑定理得出AP的長，進而得出OP、QD的長，即可得出M點的坐標；
（3）利用勾股定理分別得出BC，AM，AD，MN的長，即可得出MN與BC的關系．
解答：（1）解：∵∠BOC=∠AOD=90°，∠CBO=∠OAD，
∴△BCO∽△AOD．
∴即，
∴OD=4，
∴點D的坐標是（0，-4）；

（2）解：作MP⊥x軸于P，MQ⊥y軸于Q，
∵AC=CO+OA=8，
∴AP=AC=4，
∴OP=MQ=OA-AP=2，
∵BD=BO+OD=7，
∴QD=BD=，
∴OQ=PM=OD-QD=，
∴點M的坐標是（2，-）；

（3）證明：連接AM
在Rt△BOC中，BC=，
在Rt△APM中，AM=，
在Rt△AOD中，AD=，
則AN=AD=，
在Rt△AMN中，MN=．
故MN=BC．
點評：此題主要考查了相似三角形的性質與判定和勾股定理的應用和垂徑定理等知識，根據(jù)垂徑定理得出OQ，OP的長是解題關鍵．