【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,D、F是AB邊上的兩點,以DF為直徑的⊙O與BC相交于點E,連接EF,過F作FG⊥BC于點G,其中∠OFE= ∠A.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若sinB= ,⊙O的半徑為r,求△EHG的面積(用含r的代數(shù)式表示).

【答案】
(1)

證明:連接OE,

∵在△ABC中,∠C=90°,F(xiàn)G⊥BC,

∴∠BGF=∠C=90°,

∴FG∥AC,

∴∠OFG=∠A,

∴∠OFE= ∠OFG,

∴∠OFE=∠EFG,

∵OE=OF,

∴∠OFE=∠OEF,

∴∠OEF=∠EFG,

∴OE∥FG,

∴OE⊥BC,

∴BC是⊙O的切線


(2)

解:∵在Rt△OBE中,sinB= ,⊙O的半徑為r,

∴OB= r,BE= r,

∴BF=OB+OF= r,

∴FG=BFsinB= r,

∴BG= = r,

∴EG=BG﹣BE= r,

∴SFGE= EGFG= r2,EG:FG=1:2,

∵BC是切線,

∴∠GEH=∠EFG,

∵∠EGH=∠FGE,

∴△EGH∽△FGE,

=( )=

∴SEHG= SFGE= r2


【解析】(1)首先連接OE,由在△ABC中,∠C=90°,F(xiàn)G⊥BC,可得FG∥AC,又由∠OFE= ∠A,易得EF平分∠BFG,繼而證得OE∥FG,證得OE⊥BC,則可得BC是⊙O的切線;
    (2)由在△OBE中,sinB= ,⊙O的半徑為r,可求得OB,BE的長,然后由在△BFG中,求得BG,F(xiàn)G的長,則可求得EG的長,易證得△EGH∽△FGE,然后由相似三角形面積比等于相似比的平方,求得答案.此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識.注意準確作出輔助線是解此題的關鍵.

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