【題目】在菱形ABCD中,點Q為AB邊上一點,點F為BC邊上一點連接DQ、DF和QF.
(1)如圖1,若∠ADQ=∠FDQ,∠FQD=90°,求證:AQ=BQ;
(2)如圖2,在(1)的條件下,∠BAD=120°,對角線AC、BD相交于點P,以點P為頂點作∠MPN=60°,PM與AB交于點M,PN與AD交于點N,求證:DN+QM=AB;
(3)如圖3,在(1)(2)的條件下,延長NP交BC于點E,延長CN到點K,使CK=CA,連接AK并延長和CD的延長線交于點T,若AM:DN=1:5,S四邊形MBEP=12,求線段DT的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)DT=4.
【解析】
(1)作輔助線,證明△FQD≌△LQD和△ALQ≌△BFQ,可得結(jié)論;
(2)如圖2,連接QP,由AQ=BQ,并根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得:PA=PQ,所以△APQ是等邊三角形,證明△PQM≌△PAN(ASA),則QM=AN,根據(jù)AB=AD=DN+AN,代入可得結(jié)論;
(3)如圖3,作輔助線,構(gòu)建直角△AMG和直角△CEH,設(shè)AM=a,則DN=5a,根據(jù)(2):AB=DN+QM,得AB=8a,證明△PCE≌△PAN,得CE=AN=3a,根據(jù)勾股定理計算BP和MG、EH的長,根據(jù)S四邊形MBEP=12,列方程可得a的值,
則AM=1,AN=3,DN=5,CD=8,過C作CI⊥AD于I,得ID=CD=×8=4,根據(jù)勾股定理得CN的長;
在CD上截取CS,使CS=DN=5,連接AS,證明△ACS≌△CDN(SAS),可得結(jié)論.
證明:(1)如圖1,分別延長FQ、DA交于L,
∵∠ADQ=∠FDQ,DQ=DQ,∠FQD=∠LQD=90°,
∴△FQD≌△LQD(ASA),
∴FQ=LQ,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴LD∥BF,
∴∠ALQ=∠BFQ,∠LAQ=∠FBQ,
∴△ALQ≌△BFQ,
∴AQ=BQ;
(2)如圖2,連接QP,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠BAP=∠DAP,PA=PC,AC⊥BD,
∴∠APB=∠APD=90°,
∵∠BAD=120°,
∴∠BAP=∠DAP=60°,
∴∠ABP=30°,
∴PA=AB,
∵AQ=BQ,
∴PQ=AB,
∴PA=PQ,
∴△APQ是等邊三角形,
∴∠APQ=∠PQA=60°,
∵∠MPN=60°,
∴∠APQ=∠MPN=60°,
∴∠QPM=∠APN,
∵∠PQM=∠PAN=60°,
∴△PQM≌△PAN(ASA),
∴QM=AN,
∵AB=AD=DN+AN,
∴AB=DN+QM;
(3)解:如圖3,過點M作MG⊥AC于G,過點E作EH⊥AC于H,設(shè)AM=a,
∵AM:DN=1:5,
∴DN=5a,
由(2)知:AB=DN+QM,
∵AQ=AB,QM=AQ﹣AM,
∴5a+AB﹣a=AB,AB=8a,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∵∠BAD=120°,
∴∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴AC=AB=8a,
∴AN=3a,
∵∠APN=∠CPE,AP=CP,∠DAC=∠BCA=60°,
∴△PCE≌△PAN(ASA),
∴CE=AN=3a,
Rt△BPC中,∠CBP=30°,BC=8a,
∴BP=4a,
同理MG=a,EH=a,
∵S四邊形MBEP=S△ABC﹣S△APM﹣S△CPE,
∴﹣﹣=12,
∴a2=1,a=1(a=﹣1舍去),
∴AM=1,AN=3,DN=5,CD=8,
過C作CI⊥AD于I,
∴ID==,
∴NI=ND﹣ID=5﹣4=1,
在Rt△CID中,CD2=DI2+CI2,
∴CI2=CD2﹣ID2=82﹣42=48,
在Rt△ICN中,CN2=NI2+CI2,
∴CN2=1+48=49,
∴CN=7,
在CD上截取CS,使CS=DN=5,連接AS,
∴AN=SD=3,
∵∠ACS=∠CDN=60°,AC=CD,
∴△ACS≌△CDN(SAS),
∴∠CAS=∠DCN,SA=NC=7,
∵CA=CK,
∴∠CAK=∠CKA,
∴∠SAK=∠KTC,
∴SA=ST=7,
∴DT=7﹣3=4.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】九年級教師對試卷講評課中學(xué)生參與的深度與廣度進(jìn)行評價調(diào)查,其評價項目為主動質(zhì)疑、獨立思考、專注聽講、講解題目四項.評價組隨機抽取了若干名初中學(xué)生的參與情況,繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖(均不完整),請根據(jù)圖中所給信息解答下列問題:
(1)在這次評價中,一共抽查了名學(xué)生;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,項目“主動質(zhì)疑”所在的扇形的圓心角的度數(shù)為度;
(3)請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(4)如果全市有6000名九年級學(xué)生,那么在試卷評講課中,“獨立思考”的約有多少人?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線 AB、CD 相交于 O,∠BOC=70°,OE 是∠BOC 的角平分線,OF是OE的反向延長線.
(1)求∠1,∠2,∠3 的度數(shù);
(2)判斷 OF 是否平分∠AOD,并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,對角線AC和BD相交于點O,在AB上有一點E,連接CE,過點B作BC的垂線和CE的延長線交于點F,連接AF,∠ABF=∠FCB,F(xiàn)C=AB,若FB=1,AF=,則BD=_____.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:在四邊形ABCD中,∠ABC=∠DCB=90°,點P在BC邊上,連接AP和PD,點E在DC邊上,連接BE與DP和AP分別交于點F和點G,若AB=PC,BP=DC,∠DFE=45°.
(1)如圖1,求證:四邊形ABED為平行四邊形;
(2)如圖2,把△PFG沿FG翻折,得到△QFG(點P與點Q為對應(yīng)點),點Q在AD上,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖中所有的平行四邊形(不包括平行四邊形ABED,但包括特殊的平行四邊形).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為滿足市場需求,新生活超市在端午節(jié)前夕購進(jìn)價格為3元/個的某品牌粽子,根據(jù)市場預(yù)測,該品牌粽子每個售價4元時,每天能出售500個,并且售價每上漲0.1元,其銷售量將減少10個,為了維護消費者利益,物價部門規(guī)定,該品牌粽子售價不能超過進(jìn)價的200%,請你利用所學(xué)知識幫助超市給該品牌粽子定價,使超市每天的銷售利潤為800元.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線l:y=﹣x+b與x軸,y軸的交點分別為A,B,直線l1:y=x+1與y軸交于點C,直線l與直線ll的交點為E,且點E的橫坐標(biāo)為2.
(1)求實數(shù)b的值和點A的坐標(biāo);
(2)設(shè)點D(a,0)為x軸上的動點,過點D作x軸的垂線,分別交直線l與直線ll于點M、N,若以點B、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形,求a的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,一螞蟻從原點O出發(fā),按向上、向右、向下、向右的方
向依次不斷移動,每次移動1個單位,其行走路線如下圖所示.
(1)填寫下列各點的坐標(biāo):A4( , )、A8( , )、A12( , );
(2)寫出點A4n的坐標(biāo)(n是正整數(shù));
(3)指出螞蟻從點A100到點A101的移動方向.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com