Question

【題目】愛好思考的小明在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線相互垂直的三角形“中垂三角形”，如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM、BN是△ABC的中線，AM⊥BN于點P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．

（特例研究）

（1）如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=4時，a=b= ；

（歸納證明）

（2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖2證明你的結(jié)論；

（拓展證明）

（3）如圖4，ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相較于點G，AD=3，AB=3，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）a2+b2=5c2，證明見解析；（3）4

【解析】

（1）首先證明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解決問題．

（2）結(jié)論a2+b2=5c2．設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分別求出a2、b2、c2即可解決問題．
（3）取AB中點H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點，首先證明△ABF是中垂三角形，利用（2）中結(jié)論列出方程即可解決問題．

（1）解：如圖中，

∵CN=AN，CM=BM，
∴MN∥AB，MN=AB=2，

∵tan∠PAB=1，
∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，
∴PN=PM=2，PB=PA=4，
∴AN=BM=，

∴b=AC=2AN=4，a=BC=4，

∴，

故答案為：；

（2）結(jié)論a2+b2=5c2．
證明：如圖中，

連接MN．
∵AM、BN是中線，
∴MN∥AB，MN=AB，
∴△MPN∽△APB，

∴，
設(shè)MP=x，NP=y，則AP=2x，BP=2y，
∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2，
b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2，
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，
∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2．
（3）解：如圖中，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AE∥BF，

∴，

在△AGE和△FGB中，

，
∴△AGE≌△FGB，
∴AG=FG，取AB中點H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點，
同理可證△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=2BF=CF，
即PE∥CF，PE=CF，
∴四邊形CEPF是平行四邊形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由（2）可知AB2+AF2=5BF2，
∵AB=3，BF=AD=，
∴9+AF2=5×，
∴AF=4．