Question

【題目】如圖所示，在矩形ABCD中，AD=4，點E在邊AD上，連接CE，以CE為邊向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，且垂足H在邊AD上，連接AF．

（1）求證：FH=ED；

（2）設(shè)AE=x，是否存在某個x的值，使得△AEF的面積為3？若存在，求出x的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）不存在這樣的x使得△AEF的面積為3.

【解析】

根據(jù)題意可得∠FEH=∠DCE，CE=EF，然后證明△FEH≌△ECD即可得到所證，根據(jù)△AEF的面積為，再通過列方程解未知數(shù)即可得到存不存在這樣的三角形.

（1）證明：∵四邊形CEFG是正方形，

∴CE=EF，

∵∠FEC=∠FEH+∠CED=90°，∠DCE+∠CED=90°，

∴∠FEH=∠DCE.

在△FEH和△ECD中，由AAS可證△FEH≌△ECD，

∴FH=ED.

（2）∵AE=x，則ED=FH=4﹣x，

∴S△AEF=AEFH=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+2＜3，

∴不存在這樣的x使得△AEF的面積為3.