Question

如圖，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直角∠DFE的頂點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，兩邊FD，F(xiàn)E分別交AC，BC于點(diǎn)D，E兩點(diǎn)，給出以下個(gè)結(jié)論：
①CD=BE；②四邊形CDFE不可能是正方形；③△DFE是等腰直角三角形；
④．當(dāng)∠DFE在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)D不與A，C重合），上述結(jié)論中始終正確的有（ ）

A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：首先連接CF，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得：∴∠A=∠B=45°，CF⊥AB，∠ACF=∠ACB=45°，CF=AF=BF=AB，則證得∠DCF=∠B，∠DFC=∠EFB，然后可證得：△DCF≌△EBF，由全等三角形的性質(zhì)可得CD=BE，DF=EF，也可證得S_{四邊形CDFE}=S_△ABC，問題得解．
解答：解：連接CF，
∵AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，
∴∠A=∠B=45°，CF⊥AB，∠ACF=∠ACB=45°，CF=AF=BF=AB，
∴∠DCF=∠B=45°，
∵∠DFE=90°，
∴∠DCF+∠CFE=∠CFE+∠EFB=90°，
∴∠DFC=∠EFB，
∴△DCF≌△EBF，
∴CD=BE，故①正確；
∴DF=EF，
∴△DFE是等腰直角三角形，故③正確；
∴S_△DCF=S_△BEF，
∴S_{四邊形CDFE}=S_△CDF+S_△CEF=S_△EBF+S_△CEF=S_△CBF=S_△ABC，故④正確．
若EF⊥BC時(shí)，則可得：四邊形CDFE是矩形，
∵DF=EF，
∴四邊形CDFE是正方形，故②錯(cuò)誤．
∴結(jié)論中始終正確的有①③④．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的判定等知識(shí)．題目綜合性很強(qiáng)，但難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．