Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，將某點（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不相等）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到的點叫這個點的“互換點”，如（-3，5）與（5，-3）是一對“互換點”．

（1）以O為圓心，半徑為5的圓上有無數(shù)對“互換點”，請寫出一對符合條件的“互換點”；

（2）點M，N是一對“互換點”，點M的坐標(biāo)為（m，n），且（m＞n），⊙P經(jīng)過點M，N．

①點M的坐標(biāo)為（4，0），求圓心P所在直線的表達式；

②⊙P的半徑為5，求m－n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，如：（4，3），（3，4）；（2）①y=x；②0＜m－n≤．

【解析】試題分析：根據(jù)“互換點”的定義，結(jié)合圖形寫出符合題意的點即可；（2）①因點M的坐標(biāo)為（4，0），根據(jù)“互換點”的定義，點N的坐標(biāo)為（0,4），由圓的對稱性可知圓心P在直線OA上，從而可求圓心P所在直線的表達式；②由MN為⊙P直徑時，求出m－n的最大值，由點M，N重合時，求出m－n的最小值.

解：（1）答案不唯一，如：（4，3），（3，4）；

（2）①連結(jié)MN，∵OM=ON=4，∴Rt△OMN是等腰直角三角形．

過O作OA⊥MN于點A，∴點M，N關(guān)于直線OA對稱．

由圓的對稱性可知，圓心P在直線OA上，∴圓心P所在直線的表達式為y=x．

②當(dāng)MN為⊙P直徑時，由等腰直角三角形性質(zhì)，可知m－n=；

當(dāng)點M，N重合時，即點M，N橫縱坐標(biāo)相等，所以m－n=0；

∴m－n的取值范圍是0＜m－n≤．