Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AB邊上一點(diǎn)，以O為圓心作⊙O且經(jīng)過(guò)A，D兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)E．

（1）求證：BC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）AC=2，AB=6，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3．

【解析】試題分析：（1）連接OD，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和等腰三角形的性質(zhì)證明OD∥AC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠BOD=90°，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理證明；

（2）由OD∥AC可證△BDO∽△BCA，由相似三角形的性質(zhì)得．設(shè)OD=r，則BO=6﹣r，代入比例式求出r，從而求出BE的值.

（1）證明：連結(jié)OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC．

∵∠ACB=90°，∴∠ODB=90°．

即OD⊥BC于D，∴BC是⊙O的切線(xiàn)．

（2）∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，∴ ．

∵AC=2，AB=6，∴設(shè)OD=r，則BO=6﹣r，∴ ．

解得r=，∴AE=3，∴BE=3．