Question

16．如圖，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為$2\sqrt{3}$，它的頂點(diǎn)A在拋物線(xiàn)y=x²-2$\sqrt{3}$x上運(yùn)動(dòng)，且始終使BC∥x軸．
（1）當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至原點(diǎn)O時(shí)，頂點(diǎn)C是否在該拋物線(xiàn)上？
（2）△ABC在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中被x軸分成兩個(gè)部分時(shí)，若上、下兩個(gè)部分的面積之比為1：8（即S_上：S_下=1：8），求此時(shí)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）△ABC在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)B在坐標(biāo)軸上時(shí)，求此時(shí)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至與原點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)BC與y軸交于點(diǎn)D，如圖所示．由等邊三角形的性質(zhì)可以求出AD的值，從而求出C的坐標(biāo)．
（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)出A點(diǎn)的坐標(biāo)，由條件表示出AD的值，再由三角函數(shù)求出AD的值，從而建立等量關(guān)系，就可以求出A的坐標(biāo)．
（3）B點(diǎn)在坐標(biāo)軸上有兩種情況，當(dāng)B點(diǎn)在x軸上時(shí)，則A的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線(xiàn)的解析式求出A的橫坐標(biāo)就可以求出C的坐標(biāo)；當(dāng)B點(diǎn)y軸上時(shí)，可以求出A點(diǎn)的橫坐標(biāo)$\sqrt{3}$，代入拋物線(xiàn)的解析式可以求出A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至與原點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)BC與y軸交于點(diǎn)D，如圖所示．
∵BC∥x軸，BC=AC=2$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$，AD=3，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，-3），
∵當(dāng)x=$\sqrt{3}$時(shí)，y=（$\sqrt{3}$）²-2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=-3，
∴當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至與原點(diǎn)重合時(shí)，頂點(diǎn)C在拋物線(xiàn)上．

（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，x²-2$\sqrt{3}$x）．
∵BC∥x軸，
∴x軸上部分的三角形∽△ABC，
∵S_上：S_下=1：8，
∴S_上：S_△ABC=1：9，
∴AD=3（x²-2$\sqrt{3}$x），
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，
∴AD=AC•sin60°=3，
∴3（x²-2$\sqrt{3}$x）=3，
∴x²-2$\sqrt{3}$x-1=0，
解方程，得 x=$\sqrt{3}$±2，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$+2，1）或（$\sqrt{3}$-2，1）．

（3）當(dāng)頂點(diǎn)B落在x軸時(shí)，則A點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，
∴3=x²-2$\sqrt{3}$x，
∴x=$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$或$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$，0）、（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$，0），
當(dāng)頂點(diǎn)B落在y軸時(shí)，則A點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\sqrt{3}$，
∴y=x²-2$\sqrt{3}$x=-3，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，-6），
綜上所述，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$，0）、（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$，0）、（2$\sqrt{3}$，-6）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形的面積，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)的綜合應(yīng)用．解這類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．