Question

（2010•鞍山）已知一次函數(shù)y₁=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y₂=的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（-2，4）、（4，-2）．
（1）求兩個函數(shù)的解析式；
（2）結(jié)合圖象寫出y₁＜y₂時，x的取值范圍；
（3）求△AOB的面積；
（4）是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)A﹑B﹑O﹑P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用待定系數(shù)法可分別求得兩個函數(shù)的解析式；
（2）利用（1）中的解析式聯(lián)立方程組，即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖形可寫出x的取值范圍；
（3）把△AOB的面積分為兩部分，即S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC；
（4）利用菱形的性質(zhì)，根據(jù)線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是兩個端點(diǎn)橫坐標(biāo)的和的一半，縱坐標(biāo)也是兩個端點(diǎn)縱坐標(biāo)和的一半，即可求解．
解答：解：（1）分別把點(diǎn)A（-2，4），點(diǎn)B（4，-2）代入解析式中，得
k=-8，即雙曲線解析式為y=-

解得
∴直線解析式為y=-x+2；

（2）當(dāng)-x+2=-時，
整理，得
x²-2x-8=0
解得x₁=-2，x₂=4
即點(diǎn)A（-2，4），點(diǎn)B（4，-2）
當(dāng)y₁＜y₂時，-2＜x＜0或x＞4．

（3）當(dāng)x=0時，y=-x+2=2，即
OC=2
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=22+24=6．

（4）存在．
若四邊形OAPB是菱形，則AB，OP互相垂直平分，即點(diǎn)M既是AB的中點(diǎn)，又是OP的中點(diǎn)．
∵點(diǎn)A是（-2，4），點(diǎn)B是（4，-2）
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，1）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，2）．
點(diǎn)評：此題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)和三角形以及菱形相結(jié)合的綜合性知識．通過解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，知道線段的中點(diǎn)坐標(biāo)與兩個端點(diǎn)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．