Question

（2010四川樂山）在△ABC中，D為BC的中點，O為AD的中點，直線l過點O.過A、B、C三點分別做直線l的垂線，垂足分別是G、E、F，設(shè)AG=h₁，BE=h₂，CF=h₃.

（1）如圖（12.1），當直線l⊥AD時（此時點G與點O重合）.求證：h₂+h₃= 2h₁；

（2）將直線l繞點O旋轉(zhuǎn)，使得l與AD不垂直.

①如圖（12.2），當點B、C在直線l的同側(cè)時，猜想（1）中的結(jié)論是否成立，請說明你的理由；

②如圖（12.3），當點B、C在直線l的異側(cè)時，猜想h₁、h₂、h₃滿足什么關(guān)系.（只需寫出關(guān)系，不要求說明理由）

Answer 1

（1）證明：∵BE⊥l，GF⊥l，

∴四邊形BCFE是梯形.

又∵GD⊥l，D是BC的中點，

∴DG是梯形的中位線，

∴BE+CF=2DG.

又O為AD的中點，∴AG=DG，

∴BE+CF=2AG.

即h₂+h₃= 2h₁.

（2）成立.

證明：過點D作DH⊥l，垂足為H，

∴∠AGO=∠DHO=Rt∠，∠AOG=∠DOH，OA=OD，

∴△AGO≌△DHO，

∴DH=AG.

又∵D為BC的中點，由梯形的中位線性質(zhì)，

得2 DH=BE+CF，即2 AG =BE+CF，

∴h₂+h₃= 2h₁成立.

（3）h₁、h₂、h₃滿足關(guān)系：h₂－h₃= 2h₁.

（說明：（3）問中，只要是正確的等價關(guān)系都得分）