Question

綜合與探究：如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(點B在點A的右側(cè))與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q。

（1）求點A,B,C的坐標。

（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD，BC于點M,N。試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由。

（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點 Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）當y=0時，，解得，，

∵點B在點A的右側(cè)，∴點A，B的坐標分別為：（－2，0），（8，0）。

當x=0時，，∴點C的坐標為（0，－4）。

（2）由菱形的對稱性可知，點D的坐標為（0，4）。

設直線BD的解析式為，則，解得，。

∴直線BD的解析式為。

∵l⊥x軸，∴點M，Q的坐標分別是（m，），（m，）

如圖，當MQ=DC時，四邊形CQMD是平行四邊形。

∴，化簡得：。

解得，m₁=0，（舍去）m₂=4。

當m=4時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，四邊形CQBM也是平行四邊形。理由如下：

∵m=4，∴點P是OB中點。

∵l⊥x軸，∴l(xiāng)∥y軸。

∴△BPM∽△BOD�！��！郆M=DM。

∵四邊形CQMD是平行四邊形，∴DMCQ�！郆MCQ。

∴四邊形CQBM為平行四邊形。

（3）拋物線上存在兩個這樣的點Q，分別是Q₁（－2，0），Q₂（6，－4）。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)坐標軸上點的特點，可求點A，B，C的坐標。

（2）由菱形的對稱性可知，點D的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BD的解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得關于m的方程，求得m的值；再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形CQBM的形狀。

（3）分DQ⊥BD，BQ⊥BD兩種情況討論可求點Q的坐標：由B（8，0），D（0，4），Q（m，）應用勾股定理求出三邊長，再由勾股定理分DQ⊥BD，BQ⊥BD兩種情況列式求出m即可。