Question

綜合與探究：如圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(點B在點A的右側(cè))與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設(shè)點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q

（1）求點A,B,C的坐標。

（2）當(dāng)點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD，BC于點M,N。試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由。

（3）當(dāng)點P在線段EB上運動時，是否存在點 Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解析：（1）當(dāng)y=0時，，解得，

∵點B在點A的右側(cè)，

∴點A,B的坐標分別為：（-2，0），（8，0）

當(dāng)x=0時，y=-4

∴點C的坐標為（0，-4），

（2）由菱形的對稱性可知，點D的坐標為（0，4）.

設(shè)直線BD的解析式為y＝kx＋b，則.解得，k=，b=4.

∴直線BD的解析式為.

∵l⊥x軸，∴點M，Q的坐標分別是（m，），（m，）

如圖，當(dāng)MQ=DC時，四邊形CQMD是平行四邊形.

∴（）-()=4-(-4)

化簡得：.解得，m₁=0，（舍去）m₂=4.

∴當(dāng)m=4時，四邊形CQMD是平行四邊形.

此時，四邊形CQBM是平行四邊形.

解法一：∵m=4，∴點P是OB中點.∵l⊥x軸，∴l(xiāng)∥y軸.

∴△BPM∽△BOD.∴.∴BM=DM.

∵四邊形CQMD是平行四邊形，∴DMCQ∴BMCQ.∴四邊形CQBM為平行四邊形.

解法二：設(shè)直線BC的解析式為y=k₁x+b₁，則.解得，k₁=，b₁=-4

∴直線BC的解析式為y=x-4

又∵l⊥x軸交BC于點N.∴x=4時，y=-2. ∴點N的坐標為（4，-2）由上面可知，點M,Q的坐標分別為：（4，2），Q(4,-6).

∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.∴MN=QN.

又∵四邊形CQMD是平行四邊形.∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，

又∠1=∠2，∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN.

∴四邊形CQBM為平行四邊形.

（3）拋物線上存在兩個這樣的點Q，分別是Q₁（-2，0），Q₂（6，-4）.