Question

（2011•舟山）已知直線y=kx+3（k＜0）分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，線段OA上有一動(dòng)點(diǎn)P由原點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)k=﹣1時(shí)，線段OA上另有一動(dòng)點(diǎn)Q由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，它與點(diǎn)P以相同速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（如圖1）．
①直接寫出t=1秒時(shí)C、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若以Q、C、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，求t的值．
（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)以C為頂點(diǎn)的拋物線y=（x+m）²+n與直線AB的另一交點(diǎn)為D（如圖2），
①求CD的長；
②設(shè)△COD的OC邊上的高為h，當(dāng)t為何值時(shí)，h的值最大？

Answer 1

解：（1）①C（1，2），Q（2，0）
②由題意得：P（t，0），C（t，﹣t+3），Q（3﹣t，0）
分兩種情況討論：
情形一：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，∠AQC=∠AOB=90°，∴CQ⊥OA，∵CP⊥OA，∴點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，OQ=OP，即3﹣t=t，∴t=1.5
情形二：當(dāng)△AQC∽△AOB時(shí)，∠ACQ=∠AOB=90°，∵OA=OB=3∴△AOB是等腰直角三角形∴△ACQ也是等腰直角三角形∵CP⊥OA∴AQ=2CP，即t=2（﹣t+3）∴t=2∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒．
（2）①由題意得：C（t，﹣）
∴以C為頂點(diǎn)的拋物線解析式是y=，由，
解得．
過點(diǎn)D作DE⊥CP于點(diǎn)E，則∠DEC=∠AOB=90°
∵DE∥OA∴∠EDC=∠OAB
∴△DEC∽△AOB∴∵AO=4，AB=5，DE=∴CD=
②∵，CD邊上的高=，∴，∴S_△COD為定值．
要使OC邊上的高h(yuǎn)的值最大，只要OC最短，因?yàn)楫?dāng)OC⊥AB時(shí)OC最短，此時(shí)OC的長為，∠BCO=90°
∵∠AOB=90°∴∠COP=90°﹣∠BOC=∠OBA
又∵CP⊥OA∴Rt△PCO∽Rt△OAB
∴，OP=，即t=
∴．

解析