Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，第一次將△OAB變換成△OA₁B₁第二次將OA₁B₁變換成△OA₂B₂，第三次將△OA₂B₂變換成△OA₃B₃，已知A（1，3），A₁（2，3），A₂（4，3），A₃（8，3），B（2，0），B₁（4，0），B₂（8，0），B₃（16，0）．

（1）求△OAB的面積；
（2）寫出△OA₄B₄的各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）按此圖形變化規(guī)律，你能寫出△OA_nB_n的面積與△OAB的面積的大小關(guān)系嗎？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式：面積=

1

2

×底×高進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）對(duì)于A₁，A₂…A_n坐標(biāo)找規(guī)律可將其寫成豎列，比較從而發(fā)現(xiàn)A_n的橫坐標(biāo)為2ⁿ，而縱坐標(biāo)都是3，同理B₁，B₂，B_n也一樣找規(guī)律．
（3）根據(jù)三角形的底邊后一個(gè)是前一個(gè)三角形的底邊的2倍，先求出△OA_nB_n的底邊OB_n的長(zhǎng)度，高都是3不變，然后利用三角形的面積公式分別計(jì)算出兩三角形的面積，相除即可得到倍數(shù)．

解答：解：（1）S_△OAB=

1

2

OB•y_A
=

1

2

×2×3=3；

（2）根據(jù)圖示知O的坐標(biāo)是（0，0）；
已知A（1，3），A₁（2，3），A₂（4，3），A₃（8，3），對(duì)于A₁，A₂…A_n坐標(biāo)找規(guī)律比較從而發(fā)現(xiàn)A_n的橫坐標(biāo)為2ⁿ，而縱坐標(biāo)都是3；
同理B₁，B₂…B_n也一樣找規(guī)律，規(guī)律為B_n的橫坐標(biāo)為2ⁿ⁺¹，縱坐標(biāo)為0．
由上規(guī)律可知：A₄的坐標(biāo)是（16，3），B₄的坐標(biāo)是（32，0）；
綜上所述，O（0，0），A₄（16，3），B₄（32，0）；

（3）根據(jù)規(guī)律，后一個(gè)三角形的底邊是前一個(gè)三角形底邊的2倍，高相等都是4，
∴OB_n=2ⁿ⁺¹，
S_△OAnBn=

1

2

×2ⁿ⁺¹×3=3×2ⁿ=2ⁿS_△OAB
即S_△AnBn=2ⁿS_△OAB．

點(diǎn)評(píng)：本題是觀察坐標(biāo)規(guī)律的問題，需要分別從橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)兩方面觀察規(guī)律，寫出答案．