【題目】已知:在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線 的對稱軸為直線 ,頂點為A.

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點A的坐標(biāo);
(2)點P為拋物線對稱軸上一點,聯(lián)結(jié)OA、OP.
①當(dāng)OA⊥OP時,求OP的長;
②過點P作OP的垂線交對稱軸右側(cè)的拋物線于點B,聯(lián)結(jié)OB,當(dāng)∠OAP=∠OBP時,求點B的坐標(biāo).

【答案】
(1)解: 拋物線 的對稱軸為直線
頂點A的坐標(biāo)為(2,1)
(2)解:設(shè)對稱軸與 軸的交點為E.①如圖,

在直角三角形AOE和直角三角形POE中,
;
②如圖,過點B作AP的垂線,垂足為F,

設(shè)點 ,
中,

整理得: 解得 (舍).
【解析】(1)拋物線 y = a x 2 + x 的對稱軸為直線 x = 2可列關(guān)于a的方程,拋物線的表達(dá)式可求;根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)公式可求頂點A的坐標(biāo);(2)①在直角三角形AOE和直角三角形POE中,根據(jù)已知條件可證兩個三角形相似,從而得到成比例線段,OP的長可求;②過點B作AP的垂線,垂足為F,可證△BPF△PO,從而得到成比例線段,a的值可求,點B的坐標(biāo)亦可求。
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì),掌握增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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(2)動點P從點O出發(fā),沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動;同時,動點Q從點B出發(fā),沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動.規(guī)定其中一個動點到達(dá)端點時,另一個動點也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒,當(dāng)t為何值時,PA=QA?

(3)在拋物線的對稱軸上,是否存在點M,使以A,B,M為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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